§ 14. КОЛЬЦА

В § 11 (стр. 305) было дано общее определение поля как произвольного множества элементов, на котором определены действия сложения и умножения, удовлетворяющие приводившимся там требованиям 1—10. Опустив в этом определении требование 10 о существовании частного и требования 7, 8 коммутативности и ассоциативности умножения, получим определение понятия кольца — одного из важнейших понятий современной алгебры.

Всякое поле, а также всякая алгебра, рассматриваемая только относительно операций сложения и умножения, является кольцом. Еще более простым примером кольца служит совокупность целых рациональных чисел с обычными операциями сложения и умножения. Относительно этих операций кольцами будут также совокупности чисел вида , где — целые рациональные числа. Элементами этих колец являются числа, благодаря чему и сами кольца называются числовыми. Некоторые важные свойства и приложения этих колец были рассмотрены в главах IV (том 1) и X (том 2).

Однако существуют важные классы и нечисловых колец. Так, например, относительно обычных операций сложения и умножения кольцами являются совокупность многочленов от данных переменных с коэффициентами из какого-либо фиксированного кольца или поля, совокупность всех непрерывных функций, определенных на некоторой области, совокупность линейных преобразований линейного или гильбертова пространств.

Арифметические свойства числовых колец являются предметом изучения глубокой теории алгебраических чисел, пограничной между собственно алгеброй и собственно теорией чисел. Исследованием свойств колец многочленов занимается так называемая теория полиномиальных идеалов, тесно связанная высшими отделами аналитической геометрии. Наконец, кольца функций и преобразований играют основную роль в функциональном анализе (см. главу XIX).

На базе этих и некоторых других конкретных теорий в текущем столетии стали быстро развиваться общая теория колец и теория топологических колец.

За ограниченностью места далее будут указаны лишь отдельные результаты, относящиеся только к введению в теорию колец.

Идеалы.

Подмножество I элементов некоторого (не обязательно ассоциативного) кольца К называется его идеалом, если разность любых двух элементов из I снова содержится в I и если произведения произвольного элемента а из 7 на произвольный элемент кольца К содержатся в 1.

Каждый идеал является такой частью кольца, которая сама является кольцом относительно действующих в заданном кольце операций сложения и умножения. Такие части называются подкольцами данного кольца и, значит, каждый идеал является в то же время подкольцом. Обратное, как правило, несправедливо.

Пересечение любой системы идеалов кольца снова является идеалом этого кольца, в частности идеалом кольца будет пересечение всех идеалов, содержащих какой-нибудь фиксированный элемент а кольца. Этот идеал называется главным идеалом, порожденным элементом а, и обозначается через (а).

Таким же образом определяется понятие идеала, порожденного двумя или несколькими элементами. Легко показать, что если ассоциативное коммутативное кольцо имеет единичный элемент, то идеалом, порожденным элементами будет просто совокупность всех элементов кольца, допускающих запись в виде суммы ххаг где — произвольные элементы кольца. В частности, главный идеал (а) в коммутативном ассоциативном кольце с единицей есть просто совокупность всех элементов, кратных а, т. е. имеющих вид

В кольце всех целых рациональных чисел каждый идеал является главным. Тем же свойством обладают кольцо многочленов от одного переменного с коэффициентами из некоторого поля, кольцо комплексных чисел вида где — целые рациональные, и ряд других колец. Однако уже совокупность всех многочленов от двух переменных без свободного члена не будет главным идеалом в кольце всех многочленов от с рациональными коэффициентами.

Аналогично тому, как это было с нормальными делителями в теории групп, для каждого идеала кольца К можно построить фактор-кольцо Делается это следующим образом. Элементы кольца К называются сравнимыми по идеалу символически если их разность содержится в Легко устанавливается, что отношение сравнимости симметрично, рефлексивно и транзитивно (см. главу XV) и, следовательно, все элементы К разбиваются на классы сравнимых между собой по идеалу I. Рассматривая теперь эти классы как элементы нового множества, вводят для них понятие суммы и произведения, называя «суммой» двух классов тот класс, который содержит сумму каких-либо двух элементов, входящих соответственно в эти классы, а произведением — класс, содержащий произведение указанных представителей. Из определения идеалов следует, что так определенные сумма и произведение на самом деле не зависят от выбора представителей и что в результате совокупность классов становится кольцом.

Роль фактор-колец в теории колец совершенно аналогична роли фактор-групп в теории групп. В частности, построение фактор-колец

от известных колец представляет собою удобный способ образования колец с самыми различными свойствами. Более того, легко доказывается, например, что произвольное коммутативное кольцо К изоморфно фактор-кольцу кольца многочленов с целыми рациональными коэффициентами от достаточного числа переменных.