Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 13. АЛГЕБРЫ ЛИВ § 12 говорилось, что, кроме теории ассоциативных алгебр, в настоящее время весьма детально разработана теория алгебр Ли, умножение в которых подчинено требованиям
Важность этих алгебр объясняется тем, что они тесно связаны с группами Ли (см. § 7), т. е. с важнейшим классом непрерывных групп. Как мы видели выше, группы Ли играют значительную роль в современной геометрии. В соответствии с происхождением теории групп и алгебр Ли наибольший интерес представляют алгебры Ли над полями всех действительных и всех комплексных чисел Одним из простых примеров алгебры Ли является следующий. Рассмотрим множество всех квадратных матриц данного порядка Нетрудно проверить, что
Следовательно, множество всех квадратных матриц данного порядка образует алгебру Ли относительно операции коммутирования. Ясно, что всякая подалгебра алгебры Ли, образованной матрицами, т. е. всякое множество матриц, замкнутое относительно действий сложения, умножения на числа основного поля и коммутирования, в свою очередь является алгеброй Ли. Вопрос о том, для всякой ли абстрактно заданной алгебры Ли существует изоморфная ей матричная алгебра, долгое время оставался открытым. Он был решен положительно только в Коснемся теперь в общих чертах, не входя в подробности и не давая строгих формулировок, соответствия между группами Ли и алгебрами Ли, ограничившись случаем, когда группа Ли и алгебра Ли представлены матрицами. Пусть Тогда совокупность всех полученных таким образом матриц образует группу Ли относительно обычного матричного умножения. Обратно, для каждой группы Ли найдется единственная (с точностью до изоморфизма) алгебра Ли, такая, что соответствующая ей группа будет изоморфна данной. Для простоты мы привели не точную, а упрощенную формулировку теоремы о соответствии между Таким образом, переход от алгебры Ли к соответствующей группе осуществляется посредством действия, аналогичного потенцированию, а обратный переход — от группы к алгебре — посредством действии, аналогичного логарифмированию. Если Матрица Легко проверить, что для каждой кососимметрической матрицы А выражение Из аналитической геометрии известно, что каждое вращение пространства около начала координат задается ортогональной матрицей, причем произведению вращений отвечает произведение соответствующих матриц. Иными словами, группа вращений пространства около неподвижной точки изоморфна группе ортогональных матриц есть алгебра всех кососимметрических матриц
Так как каждая из этих матриц вполне характеризуется тремя числами
будет отвечать вектор с проекциями Для алгебр Ли в конце прошлого и начале нынешнего столетия был получен ряд результатов, аналогичных основным результатам об ассоциативных алгебрах, хотя доказательства и формулировки здесь оказываются более сложными. Так, в результате усилий Ли, Киллинга и Картана к началу XX в. для алгебр Ли удалось установить понятия радикала, полупростоты и найти все простые алгебры Ли над полями действительных и комплексных чисел. К началу 30-х годов Картаном и Вейлем была в основном построена теория представлений алгебр Ли матрицами, оказавшаяся замечательным инструментом для решения многих задач. В последние 15 лет разработкой теории алгебр Ли занимался ряд советских математиков, получивших в этой области немало замечательных результатов. В частности, ими была существенно продвинута теория представлений алгебр Ли и окончательно решены вопросы о полупростых подалгебрах алгебр Ли, о построении алгебр с заданным радикалом и т. п.
|
1 |
Оглавление
|