§ 13. АЛГЕБРЫ ЛИ

В § 12 говорилось, что, кроме теории ассоциативных алгебр, в настоящее время весьма детально разработана теория алгебр Ли, умножение в которых подчинено требованиям

Важность этих алгебр объясняется тем, что они тесно связаны с группами Ли (см. § 7), т. е. с важнейшим классом непрерывных групп. Как мы видели выше, группы Ли играют значительную роль в современной геометрии. В соответствии с происхождением теории групп и алгебр Ли наибольший интерес представляют алгебры Ли над полями всех действительных и всех комплексных чисел

Одним из простых примеров алгебры Ли является следующий. Рассмотрим множество всех квадратных матриц данного порядка Введем для них действие коммутирования, понимая под ним составление по данным матрицам А и В их так называемого коммутатора обозначаемого через .

Нетрудно проверить, что

Следовательно, множество всех квадратных матриц данного порядка образует алгебру Ли относительно операции коммутирования. Ясно, что всякая подалгебра алгебры Ли, образованной матрицами, т. е. всякое множество матриц, замкнутое относительно действий сложения, умножения на числа основного поля и коммутирования, в свою очередь является алгеброй Ли.

Вопрос о том, для всякой ли абстрактно заданной алгебры Ли существует изоморфная ей матричная алгебра, долгое время оставался открытым. Он был решен положительно только в учеником известного алгебраиста Н. Г. Чеботарева.

Коснемся теперь в общих чертах, не входя в подробности и не давая строгих формулировок, соответствия между группами Ли и алгебрами Ли, ограничившись случаем, когда группа Ли и алгебра Ли представлены матрицами.

Пусть — некоторая матричная алгебра Ли. Сопоставим каждой матрице А, принадлежащей матрицу

Тогда совокупность всех полученных таким образом матриц образует группу Ли относительно обычного матричного умножения. Обратно, для каждой группы Ли найдется единственная (с точностью до изоморфизма) алгебра Ли, такая, что соответствующая ей группа будет изоморфна данной.

Для простоты мы привели не точную, а упрощенную формулировку теоремы о соответствии между группами и алгебрами Ли. В действительности соотношение существует лишь для достаточно близкой к единичной матрице, и А, достаточно близкой к нулевой матрице. Строгая формулировка требует введения довольно сложных понятий локальной группы и локального изоморфизма.

Таким образом, переход от алгебры Ли к соответствующей группе осуществляется посредством действия, аналогичного потенцированию, а обратный переход — от группы к алгебре — посредством действии, аналогичного логарифмированию.

Если совпадает с алгеброй всех матриц порядка то соответствующая группа Ли будет группой всех неособенных матриц, так как любая близкая к единичной матрица может быть представлена в виде

Матрица называется кососимметрической, если ее элементы удовлетворяют соотношению Кососимметрические матрицы образуют алгебру Ли, так как если А и В кососимметрические, то матрицы будут также кососимметрическими.

Легко проверить, что для каждой кососимметрической матрицы А выражение будет ортогональной матрицей, причем каждая ортогональная матрица, близкая к единичной, может быть представлена в указанной экспоненциальной форме. Следовательно, алгеброй Ли группы ортогональных матриц является алгебра кососимметрических матриц.

Из аналитической геометрии известно, что каждое вращение пространства около начала координат задается ортогональной матрицей, причем произведению вращений отвечает произведение соответствующих матриц. Иными словами, группа вращений пространства около неподвижной точки изоморфна группе ортогональных матриц порядка. Отсюда мы заключаем, что алгебра Ли для группы вращений пространства

есть алгебра всех кососимметрических матриц порядка, т. е. алгебра Ли матриц вида

Так как каждая из этих матриц вполне характеризуется тремя числами , то ее можно условно изобразить вектором а, имеющим по осям координат проекции . При этом линейной комбинации матриц указанного вида будет, очевидно, отвечать линейная комбинация соответствующих векторов а коммутатору матриц

будет отвечать вектор с проекциями векторное произведение векторов Мы пришли к замечательному результату, что совокупность обычных векторов относительно действий сложения, умножения на скаляр и векторного умножения образует алгебру Ли, отвечающую группе вращений пространства около неподвижной точки. Это еще раз показывает, насколько тесно геометрические понятия связаны с группой вращения пространства, т. е., другими словами, с законами движений твердых тел.

Для алгебр Ли в конце прошлого и начале нынешнего столетия был получен ряд результатов, аналогичных основным результатам об ассоциативных алгебрах, хотя доказательства и формулировки здесь оказываются более сложными. Так, в результате усилий Ли, Киллинга и Картана к началу XX в. для алгебр Ли удалось установить понятия радикала, полупростоты и найти все простые алгебры Ли над полями действительных и комплексных чисел. К началу 30-х годов Картаном и Вейлем была в основном построена теория представлений алгебр Ли матрицами, оказавшаяся замечательным инструментом для решения многих задач. В последние 15 лет разработкой теории алгебр Ли занимался ряд советских математиков, получивших в этой области немало замечательных результатов. В частности, ими была существенно продвинута теория представлений алгебр Ли и окончательно решены вопросы о полупростых подалгебрах алгебр Ли, о построении алгебр с заданным радикалом и т. п.