§ 5. АКСИОМЫ ГЕОМЕТРИИ, ИХ ПРОВЕРКА ДЛЯ УКАЗАННОЙ МОДЕЛИ

1. Для того чтобы строго математически доказать, что модель Клейна действительно дает истолкование геометрии Лобачевского, нужно прежде всего точно формулировать, что же собственно нужцо доказывать. Проверять подряд теоремы Лобачевского было бы бессмысленно; их много, притом неограниченно много, поскольку можно доказывать все новые и новые теоремы. Достаточно будет, однако, показать, что в модели Клейна выполняются основные положения геометрии Лобачевского, из которых остальные уже могут быть выведены. Но в таком случае нужно точно формулировать эти основные положения.

Таким образом, задача о доказательстве непротиворечивости геометрии Лобачевского приводит к задаче о точной и полной формулировке ее основных положений, т. е. аксиом. А так как посылки геометрии Лобачевского отличаются от посылок геометрии Эвклида одной аксиомой параллельности, то задача сводится к точной и полной формулировке аксиом эвклидовой геометрии. У Эвклида такой формулировки еще не было; у него, в частности, вовсе отсутствовало какое бы то ни было определение свойств движения или наложения фигур, хотя он ими, конечно, пользовался. Задача об уточнении и пополнении

аксиом Эвклида встала во весь рост именно в связи с развитием геометрии Лобачевского, а также в связи с наметившимся в конце прошлого столетия общим течением к уточнению основ математики.

В результате исследований ряда геометров вопрос о формулировке аксиом геометрии был решен.

Вообще аксиомы можно выбирать различно, принимая в качестве основных разные понятия. Мы приведем здесь список аксиом геометрии на плоскости, в котором основными понятиями служат точка, прямая, движение и такие понятия, как точка X лежит на прямой а; точка В лежит между точками А и С; движение переводит точку X в точку Y. (В таком случае другие понятия через них определяются; так, например, отрезок определяется как множество всех точек, лежащих между двумя данными.)

Аксиомы делят на пять групп.

I. Аксиомы сочетания

1) Через каждые две точки проходит прямая и притом только одна.

2) На каждой прямой есть по крайней мере две точки.

3) Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

II. Аксиомы порядка

1) Из любых трех точек прямой только одна лежит между двумя другими.

2) Если А, В — две точки прямой, то на той же прямой есть хотя бы одна точка С, такая, что В лежит между А и С.

3) Прямая делит плоскость на две полуплоскости (т. е. разбивает все не лежащие на ней точки плоскости на два класса так, что точки одного класса соединимы отрезком, ее не пересекающим, а разных — нет).

III. Аксиомы движения

(Движение понимается не как преобразование отдельной фигуры, а как преобразование всей плоскости.)

1) Движение переводит прямые в прямые.

2) Два движения, произведенные одно за другим, равносильны некоторому одному движению.

3) Пусть А, А и а, а — две точки и исходящие из них полупрямые, , а — полуплоскости, ограниченные продолженными прямыми а и а; существует и притом единственное движение, переводящее А в , а . (Говоря наглядно, точка А переводится в А

переносом, затем поворотом полупрямая а переводится в и тогда полуплоскость а либо совпадает с а, либо еще нужно будет произвести «переворот» вокруг прямой а.)

IV. Аксиома непрерывности

Пусть точки расположены на прямой так, что каждая следующая лежит правее предыдущей, но при этом есть точка А, которая лежит правее их всех. Тогда существует такая точка В, которая тоже лежит правее всех точек так, что сколь угодно близко от нее есть точки (т. е. какую точку С левее В ни взять, на отрезке есть точки

V. Аксиома параллельности (Эвклида)

Через дапную точку может проходить лишь одна прямая, не пересекающая дайной прямой.

Таковы аксиомы, достаточные для построения эвклидовой геометрии на плоскости. Из них фактически можно вывести все теоремы школьного курса планиметрии, хотя вывод этот очень кропотлив.

Аксиомы геометрии Лобачевского отличаются только в части акспомы параллельности.

V. Аксиома параллельности (Лобачевского)

Через лежащую вне прямой точку проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данной прямой.

Может показаться немного странным, что в списке аксиом есть, например, такая: «на каждой прямой есть по крайней мере две точки». Ведь по нашему представлению о прямой на ней есть даже бесконечное множество «точек. Не мудрено, что ни Эвклиду, ни кому-либо из математиков до конца прошлого века не приходило в голову формулировать такую аксиому: она подразумевалась. Но теперь положение изменилось. Когда мы даем повое истолкование геометрии, то под прямой понимается уже не обычпая прямая, а что-то другое: геодезическая линия на поверхности, хорда круга или еще что-нибудь. Поэтому встает задача точно и исчерпывающим образом формулировать явно все, что мы должны потребовать от тех объектов, которые будут изоб-. ражать прямые. То же относится ко всем другим понятиям и аксиомам.

Таким образом, как это уже было сказано, появление разных толкований геометрии служит одним из важных стимулов к уточнению ее основных положений. Исторически так и было: точная формулировка аксиом появилась позже моделей Бельтрами, Клейна и Пуанкаре.

2. Теперь мы докажем, что в модели Клейна выполняются все перечисленные аксиомы, кроме эвклидовой аксиомы параллельности. Как уже было отмечено в предыдущем параграфе (рис. 11), здесь явно выполняется не она, а аксиома Лобачевского. Остается проверить аксиомы I—IV.

Плоскостью в модели служит внутренность круга (радиус его будем считать равным единице). Роль точек играют точки, роль прямых — хорды; понятия «точка лежит на прямой» и «точка лежит между двумя другими» понимаются в обычном смысле. Отсюда очевидно, что аксиомы сочетания, порядка и непрерывности выполняются. Так, например, третья аксиома порядка просто означает, что хорда делит круг на две части.

Остается проверить аксиомы движения. Движение определяется как преобразование, которое переводит круг сам в себя и прямые в прямые. Из этого определения очевидно, что эти преобразования удовлетворяют двум первым аксиомам движения: первой аксиоме — потому, что прямыми как раз считаются хорды и, стало быть, сохранение хорд означает сохранение прямых; второй аксиоме — потому, что если произвести два преобразования, переводящие круг в круг и хорды в хорды, то результирующее преобразование тем самым переведет круг в круг и хорды в хорды, т. е. будет одним из принятых за «движения».

Таким образом, остается лишь третья аксиома движения, и ее проверка представляет единственную имеющуюся здесь трудность.

Прежде всего заметим, что эта аксиома содержит два утверждения.

Пусть А, А — две точки, а, а — две исходящие из этих точек полупрямые, две полуплоскости, ограниченные прямыми а, а.

Первое утверждение состоит в том, что существует движение переводящее А в А, а в в а.

Второе утверждение состоит в том, что такое движение только одно.

Можно было бы сослаться на то, что оба эти утверждения уже доказаны в главе III, § 14 (см. том 1), но мы предпочитаем привести здесь их доказательство, не связывая -как в главе III, с другими, более общими вопросами

Докажем для модели (т. е. в принятом понимании терминов «полупрямая», «полуплоскость», «движение») справедливость первого утверждения.

Допустим сначала, что точка А лежит в центре круга. Выберем оси координат так, чтобы начало их лежало в центре круга, а ось шла через точку А (рис. 14).

В предыдущем параграфе мы рассматривали преобразование

Там было доказано, что оно есть «движение» (т. е. переводит данный круг сам в себя и прямые — в прямые).

Пусть абсцисса точки А, ордината ее Поэтому, если мы возьмем то, согласно формулам (6), точка А перейдет в точку с координатами (0, 0), т. е. в точку А.

Так как прямые переходят при этом в прямые, то «полупрямая» (т. е. отрезок хорды) а примет некоторое положение а" (рис. 14). Поворотом вокруг центра можно будет перевести теперь . «Полуплоскостью» а является один из сегментов, ограниченных «прямой» (хордой) а. Если он после движения совпадает с а, то преобразование кончено; если же не совпадает, то переворотом (отражением в диаметре а) переведем его в полукруг а.

Рис. 14.

Рис. 15.

Таким образом, колбинируя «смещение» (6) с вращением и, если нужно, с отражением, мы перевели в . Но результирующее всех этих «движений» тоже будет «движением»; это «движение» и переходит в , т. е. существование требуемого движения доказано.

Пока мы ограничивались частным случаем, когда точка А, лежит в центре. Допустим теперь, что она занимает любое положение Тогда, согласно только что доказанному, мы сможем перевести ее в центр некоторым «движением», которое обозначим При этом «полупрямая» а перейдет в какую-то «полупрямую» идущую из центра, а «полуплоскость» некоторую «полуплоскость» (полукруг) (рис. 15).

Как уже доказано, мы можем посредством некоторого «движепия» перевести и точку А в центр, «полупрямую» «полуплоскость» Наконец, «движением», обратным мы переведем А на прежнее место и вместе с тем вернутся в исходные положения

Таким образом, в результате комбинации «движения» и «движения», обратного мы переводим . Но комбинация «движений» есть снова «движение»; тем самым установлено, что существует движение, переводящее А, а, а в А, а, а уже при любом положении точек А и А в круге. Этим первое утверждение, заключенное в третьей аксиоме движения, доказано в полном объеме.

Докажем теперь, что второе утверждение также выполняется в нашей модели. Согласно смыслу этого утверждения нужно доказывать следующее.

Рис. 16.

Пусть А, А — две точки внутри круга; а, а — исходящие из них отрезки хорд; а, а — части круга, ограниченные этими хордами. Для ясности мы изображаем эти точки, хорды и части круга на двух разных чертежах (рис. 16), хотя, конечно, они лежат в одном рассматриваемом круге. Утверждается, что «движение», переводящее соответственно А в — единственное, т. е. оно вполне определяется этими данными.

При доказательстве мы будем рассматривать преобразование не только данного круга, но всей плоскости. «Движение», согласно определению, переводит прямые в прямые. Преобразование, обладающее таким свойством, называется проективным. Стало быть, можно сказать, что «движением» у нас считается проективное преобразование, переводящее данный круг сам в себй. (На рис. 16 мы изображаем это так, что круг К переходит в круг К. Нужно только параллельным переносом мыслепно наложить круг К на К.)

Проективные преобразования были рассмотрены в главе III (том 1), § 12, и здесь мы воспользуемся следующей доказанной там важной теоремой: проективное преобразование вполне определяется тем, куда переходят четыре точки, не лежащие по три на одной прямой.

Обратимся к рассматриваемому «движению». Оно переводит отрезок хорды а в а, а поэтому переводит точку В в В. Так как оно переводит хорды в хорды, то оно переводит также точку С в С.

Далее, так как «движение» вообще переводит прямые в прямые и данный круг сам в себя, а в нашем изображении круг К — в круг К, то касательные в точках переходят в касательные в точках В и С. Поэтому точка D пересечения первых касательных переходит в точку D пересечения вторых касательных (рис. 16).

Так как точка А к тому же переходит в А и прямые переходят в прямые, то прямая переходит в прямую Прямая пересекает окружность нашего круга в точках а прямая пересекает ее в точках (На чертеже эти точки лежат на окружностях К и К.) Так как круг переходит сам в себя, то точки F переходят в точки Пусть точка Е лежит на дуге, ограничивающей часть — на дуге, ограничивающей часть Тогда, поскольку по условию переходит в а, то Е переходит именно в Е и соответственно F в

Итак, мы получили, что рассматриваемом «движении» точки В, С, Е, F на окружности переходит в точки В, С, Е, F. Точки В, С, Е, F, так же как, очевидно, и точки , не лежат по три на одной прямой. Поэтому, согласно приведенной выше теореме, проективное преобразование, переводящее В, С, Е, F в В, С, Е, F, — единственное. Но «движение» и есть проективное преобразование. Стало быть, наше «движение», переводящее , единственное, что и требовалось доказать.

Таким образом, мы доказали, что в рассматриваемой модели действительно выполняются все аксиомы эвклидовой геометрии, кроме аксиомы параллельности, или, иными словами, что в модели выполняются все аксиомы геометрии Лобачевского. Модель, следовательно, на самом деле реализует геометрию Лобачевского. Эта геометрия как бы сведена к геометрии Эвклида внутри круга, изложенной особым образом, с тем условным пониманием терминов «прямая» и «движение», которое принято в модели. Кстати, это позволяет уже развивать геометрию Лобачевского на данной конкретной модели, что во многих вопросах оказывается более удобным.

С точки зрения логического анализа оснований геометрии приведенное доказательство показывает, во-первых, что геометрия Лобачевского

непротиворечива, а во-вторых, что постулат о параллельных заведомо не может быть выведен из перечисленных выше остальных аксиом.