Глава XX. ГРУППЫ И ДРУГИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

§ 1. ВВЕДЕНИЕ

В главе IV (том 1), посвященной алгебре многочленов, уже шла речь об основных путях развития алгебры, ее месте среди других математических дисциплин, об изменениях во взглядах на самый предмет алгебры. Цель настоящей главы заключается в том, чтобы дать читателю представление о тех новых алгебраических теориях, которые, возникнув еще в прошлом веке, достигли полного развития в текущем столетии и оказали большое влияние на современные математические исследования.

Современная алгебра, так же как классическая, есть учение о действиях, о правилах вычислений. Но она не ограничивается изучением свойств действий над числами, а стремится изучать свойства действий над элементами все более общей природы. Эта тенденция диктуется потребностями практики. Так, в механике складываются силы, скорости, повороты. В линейной алгебре (см. главу XVI), идеи и методы которой находят широкое применение в практических расчетах, областью действий являются матрицы, линейные преобразования, векторы -мерного пространства.

Особо выдающуюся роль в современной алгебре играет теория групп, которой и будет посвящена большая часть этой главы. Из других алгебраических теорий мы остановимся на теории гиперкомплексных систем, являющейся необходимым и важным этапом в историческом процессе развития понятия числа. Этими двумя теориями, конечно, далеко не исчерпывается содержание современной алгебры, но ее идеи и методы освещаются ими достаточно ясно.

Теория групп возникла из необходимости найти аппарат для изучения таких важных закономерностей реального мира, как закономерность симметрии.

Познание свойств симметрии каких-либо геометрических тел или других математических и физических объектов иногда дает ключ к выяснению строения этих тел и объектов. Однако, несмотря на всю наглядность понятия симметрии, точная и общая формулировка того, что такое симметрия, и в особенности количественный учет свойств симметрии требуют использования аппарата теории групп.

Теория групп возникла сравнительно давно: в конце XVIII и начале XIX в. Первоначально она развивалась лишь как вспомогательный аппарат для задачи о решении уравнений высших степеней в радикалах. Это было вызвано тем, что именно в указанной задаче впервые было замечено, что свойства равноправности, симметрии корней уравнения являются основными для решения всей задачи. В течение XIX и XX вв. важная роль закономерностей симметрии выявилась во многих других разделах науки: геометрии, кристаллографии, физике, химии. Благодаря этому методы и результаты теории групп получили широкое распространение. Поскольку каждая область приложений ставила перед теорией групп свои особенные задачи, рост числа этих областей оказывал и обратное воздействие, вызывая развитие новых отделов теории групп, приведшее к тому, что современная теория групп, являясь единой по своим основным понятиям, фактически распадается на ряд более или менее самостоятельных дисциплин: общая теория групп, теория конечных групп, теория непрерывных групп, дискретные группы преобразований, теория представлений и характеров групп. Постепенно развиваясь, методы и понятия теории групп оказались важными не только для изучения закономерностей симметрии, но и для решения многих других вопросов.

В настоящее время понятие группы стало одним из важнейших обобщающих понятий современной математики, а теория групп заняла видное место среди математических дисциплин. Выдающийся вклад в развитие теории групп и ее приложений внесли Е. С. Федоров, О. Ю. Шмидт, Л. С. Понтрягин. Исследования советских математиков в области теории групп занимают ведущее место и в современном развитии этой теории.