§ 8. ОБОБЩЕНИЕ ПРЕДМЕТА ГЕОМЕТРИИ

1. Говоря в предыдущем параграфе о реальном смысле n-мерного пространства, мы вплотную подошли к вопросу об обобщении предмета геометрии, к вопросу об общем понятии пространства в математике. Но прежде, чем дать соответствующие общие определения, рассмотрим еще ряд примеров.

Опыт показывает, что нормальное человеческое зрение, как это впервые отметил еще М. В. Ломоносов, трехцветно, т. е. всякое цветовое ощущение — цвет — есть комбинация трех основных ощущений:

красного К, зеленого 3 и синего С, с определенными интенсивностями. Обозначая эти интенсивности в некоторых единицах через можно написать, что Подобно тому, как точку можно двигать в пространстве вверх и вниз, направо и налево, вперед и назад, так и ощущение цвета — цвет может непрерывно изменяться в трех направлениях с изменением составляющих его частей красного, зеленого и синего. По аналогии можно поэтому сказать, что совокупность всевозможных цветов есть «трехмерное цветовое пространство». Интенсивности х, играют роль координат точки — цвета . (Важное отличие от обычных координат состоит в том, что интенсивности не могут быть отрицательными. Когда получаем совершенно черный цвет, отвечающий полному отсутствию света.)

Непрерывное изменение цвета можно изображать как линию в «пространстве цветов»; такую линию образуют, например, цвета радуги; цветовую линию представляет также ряд ощущений, вызываемых предметом однородной окраски при непрерывном изменении яркости освещения. В этом случае меняется только интенсивность ощущения, его «цветность» остается неизменной.

Далее, если даны два цвета, скажем красный К и белый В, то, смешивая их в разных пропорциях, получим непрерывную последовательность цветов от К до Б, которую можно назвать отрезком Представление о том, что розовый цвет лежит между красным и белым, имеет ясный смысл.

Таким образом, возникает понятие о простейших геометрических фигурах, и отношениях в «пространстве цветов». «Точка» есть цвет, «отрезок» — совокупность цветов, получаемых смешением цветов А и то, что «точка D лежит на отрезке означает, что цвет смесь цветов А и В. Смешение трех цветов дает кусок плоскости «цветовой треугольник». Все это можно также описать аналитически, пользуясь координатами цветов х, причем формулы, задающие цветовые прямые и плоскости, будут вполне аналогичны формулам обычной аналитической геометрии.

В пространстве цветов выполняются соотношения эвклидовой геометрии, касающиеся расположения точек и отрезков. Учение об этих отношениях образует аффинную геометрию, и можно сказать, что в совокупности всех возможных цветовых ощущений реализуется аффинная геометрия. (Это, правда, не вполне точно, потому что, как уже сказано, координаты цвета х, у, z не могут быть отрицательными. Поэтому пространство цветов отвечает только той части пространства, где в данной системе координат все координаты точек положительны или нули.)

Далее, мы имеем естественное представление о степени различия цветов. Так, например, понятно, что бледнорозовый ближе к белому, чем густой розовый, а малиновый ближе к красному, чем синий, и т. д. Таким образом, мы имеем качественное понятие о расстоянии между цветами, как о степени их различия. Этому качественному понятию можно дать количественную меру. Однако определять расстояние между цветами так же, как в эвклидовой геометрии по формуле оказывается неестественным. Так определяемое расстояние не соответствует реальному ощущению; при таком определении получалось бы в ряде случаев, что два цвета, в разной степени отличные от данного, находились бы от него на одном расстоянии. Определение расстояния должно отображать реальные отношения между цветовыми ощущениями.

Руководствуясь этим, в пространстве цветов вводят особое измерение расстояний. Делают это следующим образом.

При непрерывном изменении цвета человек не сразу ощущает это изменение, а лишь тогда, когда оно достигает известной степени, доходя до так называемого порога различения. В связи с этим считают, что все цвета, находящиеся от данного как раз на пороге различения, равноудалены от него. Тогда, само собой, приходим к тому, что расстояние между любыми двумя цветами нужно измерять наименьшим числом порогов различения, которое только можно проложить между ними. Длина цветовой линии измеряется числом укладывающихся на ней таких порогов. Расстояние между двумя цветами определяется длиной самой короткой соединяющей их линии. Это сходно с тем, как расстояние двух точек на поверхности измеряют длиной самой короткой соединяющей их линии.

Таким образом, измерение длин и расстояний в цветовом пространстве производится очень малыми, как бы бесконечно малыми шагами.

В результате в пространстве цветов определяется некоторая своеобразная неэвклидова геометрия. Эта геометрия имеет вполне реальный смысл: она описывает на геометрическом языке свойства совокупности всевозможных цветов, т. е. свойства реакций глаза на световое раздражение.

Понятие о цветовом пространстве возникло около ста лет назад. Геометрию этого пространства изучали многие физики, из которых можно назвать, например, Гельмгольца и Максвелла. Эти исследования продолжаются

они имеют не только теоретическое, но и практическое значение. Они дают точную математическую основу для решения вопросов о различении цвета сигналов, о красках в текстильной промышленности и др.

2. Рассмотрим другой пример, о котором уже говорилось в предыдущем параграфе.

Пусть мы изучаем какую-либо физико-химическую систему, как то: смесь газов, сплав и т. п. Пусть состояние этой системы определяется величинами (так, состояние газовой смеси определяется давлением, температурой и концентрациями составляющих ее компонентов). Тогда говорят, что система имеет степеней свободы, выражая этим, что ее состояние может меняться, так сказать, в независимых направлениях с изменением каждой из определяющих это состояние величин. Эти величины, определяющие состояние системы, играют как бы роль его координат. Поэтому совокупность всех ее состояний рассматривают как n-мерное пространство — так называемое фазовое пространство системы.

Рис. 30.

Непрерывные изменения состояния, т. е. процессы, происходящие в системе, изображаются линиями в этом пространстве. Отдельные области состояний, выделяемые по тем или иным признакам, будут областями фазового пространства. Состояния, пограничные для двух областей, образуют поверхности в этом пространстве.

В физической химии особенно важно изучить форму и взаимное прилегание тех областей фазового пространства системы, которые соответствуют качественно различным состояниям. Поверхности, разделяющие эти области, соответствуют таким качественным переходам, как плавление, испарение, выпадение осадка и т. п. Состояние системы с двумя степенями свободы изображается точкой на плоскости. Примером может служить однородное вещество, состояние которого определяется давлением и температурой Т; они и служат координатами точки, изображающей состояние. Тогда дело сводится к линиям раздела областей, отвечающих качественно различным состояниям. В случае воды, например, такими областями будут области льда, жидкой воды и пара (рис. 30). Линии их раздела отвечают плавлению (затвердеванию), испарению (конденсации), возгонке льда (выпадению кристаллов льда из пара).

При изучении систем со многими степенями свободы требуются методы многомерной геометрии.

Понятие фазового пространства применяется не только к физикохимическим, но также к механическим системам, и вообще оно может применяться к любой системе, если ее возможные состояния образуют некоторую непрерывную совокупность. В кинетической теории газов

рассматривают, например, фазовые пространства системы материальных частиц — молекул газа. Состояние движения одной частицы в каждый момент определяется ее положением и скоростью, что дает всего шесть величин: три координаты и три составляющие скорости (по трем осям координат). Состояние частиц задается величинами, и так как молекул очень много, то огромное число. Это нимало не смущает физиков, говорящих о -мерном фазовом пространстве системы молекул.

Точка в этом пространстве изображает состояние всей массы молекул с их координатами и скоростями. Движение точки изображает изменение состояния. Такое абстрактное представление оказывается очень полезным во многих глубоких теоретических выводах. Словом, понятие фазового пространства прочно вошло в арсенал точного естествознания и применяется в разнообразных вопросах.

3. Приведенные примеры позволяют уже придти к выводу о том, как обобщается предмет геометрии.

Пусть мы исследуем какую-либо непрерывную совокупность тех или иных объектов, явлений или состояний, например совокупность всевозможных цветов или совокупность состояний группы молекул. Отношения, имеющиеся в такой совокупности, могут оказаться сходными с обычными пространственными отношениями, как «расстояние» между цветами или «взаимное расположение» областей фазового пространства. В таком случае, отвлекаясь от качественных особенностей изучаемых объектов и принимая во внимание только эти отношения между ними, мы можем рассматривать данную совокупность как своего рода пространство. «Точками» этого «пространства» служат сами объекты, явления или состояния. «Фигурой» в таком пространстве будет любая совокупность его точек, как, например, «линия» цветов радуги или «область» пара в «пространстве» состояний воды. «Геометрия» такого пространства определяется как раз теми пространственно-подобными отношениями, которые имеются между данными объектами, явлениями или состояниями. Так, «геометрия» цветового пространства определяется законами смешения цветов и расстояниями между цветами.

Реальное значение такой точки зрения состоит в том, что она дает возможность использовать понятия и методы отвлеченной геометрии для изучения разнообразнейших явлений. Область применения геометрических понятий и методов расширяется, таким образом, чрезвычайно, В результате обобщения понятия пространства термин «пространство» получает в науке два значения: с одной стороны, это обычное реальное пространство — универсальная форма существования материи, с другом стороны, это «абстрактное пространство» — совокупность однородных объектов (явлений, состояний и т. п.), в которой имеются пространственноподобные отношения.

Стоит заметить, что обычное пространство, как мы его себе несколько упрощенно представляем, тоже можно понимать как совокупность

однородных состояний. Именно, его можно понимать как совокупность всех возможных положений предельно малого тела — «материальной точки». Это замечание не претендует на то, чтобы дать определение пространства, но имеет делью сделать более ясной связь двух понятий пространства. Понятие абстрактного пространства мы еще поясним ниже, об отношении же абстрактной геометрии к обычному реальному пространству речь будет идти в последнем параграфе этой главы.

4. Наиболее широкое применение понятие абстрактного пространства находит в самой математике. В геометрии рассматривают «пространство» тех или иных фигур, как, например, «пространство шаров», о котором уже шла речь, «пространство прямых» и т. п.

Этот метод оказывается, в частности, чрезвычайно плодотворным в теории многогранников. Так, например, в § 5 главы VII (том 2) упоминалась теорема о существовании выпуклого многогранника с данной разверткой. Доказательство этой теоремы основано на рассмотрении двух «пространств»: «пространства многогранников» и «пространства разверток». Совокупность выпуклых многогранников, имеющих данное число вершин, рассматривается как своего рода пространство, где точка изображает многогранник; соответственно совокупность допустимых разверток также трактуется как некоторое пространство, где точка изображает развертку. Склеивание многогранников из разверток устанавливает соответствие между многогранниками и развертками, т. е. соответствие между точками «пространства многогранников» и «пространства разверток». Задача состоит в том, чтобы доказать, что каждой развертке отвечает многогранник, т. е. каждой точке одного пространства отвечает точка другого. Это как раз и доказывается посредством применения топологии.

Аналогично доказывается целый ряд других теорем о многогранниках, причем этот «метод абстрактных пространств» в ряде случаев (как в теореме о существовании многогранника с данной разверткой) оказывается самым простым из известных методов доказательства таких теорем. К сожалению, однако, этот метод все же довольно сложен, и мы не имеем здесь возможности дать о нем более точное представление.

Широкое применение обобщенное понятие пространства находит также в анализе, алгебре и теории чисел. Начало этого лежит в обычном представлении функций посредством кривых. Значениям одной переменной х обычно сопоставляются точки на прямой. Аналогично, значениям двух переменных сопоставляются точки на плоскости, значениям переменных — точки в -мерном пространстве; набор значений переменных представляют точкой с координатами Говорят об «области изменения переменных» или об «области задания» функции этих переменных говорят о точках, линиях или поверхностях разрыва функции и т. п. Этот геометрический язык употребляется постоянно, и это не только способ выражения; геометрические представления

делают многие факты анализа «наглядными» по аналогии с обычным пространством и позволяют применять геометрические методы доказательства, обобщенные на -мерное пространство.

То же имеет место в алгебре, когда речь идет об уравнениях с -неизвестными или об алгебраических функциях от переменных. В предыдущем параграфе отмечалось, что линейное уравнение с неизвестными определяет в «n-мерном пространстве плоскость, т. таких уравнений определяют т. плоскостей, а всякое их решение изображает точку, общую для всех этих плоскостей. Плоскости могут вовсе не пересекаться, пересекаться в одной точке, по целой прямой, по двумерной или вообще по некоторой -мерной плоскости. В целом вопрос о разрешимости системы линейных уравнений изображается как вопрос о пересечении плоскостей. Этот геометрический подход имеет ряд преимуществ. Вообще, «линейную алгебру», которая объемлет учение о линейных уравнениях и линейных преобразованиях, обычно излагают в большой степени геометрически, как это сделано в главе XVI.

5. Во всех рассмотренных примерах речь шла о том, что непрерывная совокупность тех или иных объектов трактуется как своего рода пространство. Объектами этими служили цвета, состояния той или иной системы, фигуры, совокупности значений переменных. Во всех случаях объект задавался конечным числом данных, и потому соответствующее пространство имело конечное число измерений, равное числу этих данных.

Однако в начале нашего столетия в математике начали рассматривать также «бесконечномерные пространства» — совокупности таких объектов, каждый из которых не может быть задан конечным числом данных. Это прежде всего «функциональные пространства».

Мысль трактовать совокупность функций того или иного типа как своего рода пространство является одной из основных идей новой отрасли анализа — функционального анализа — и оказывается чрезвычайно плодотворной в решении многих вопросов. Читатель получит об этом представление из главы XIX, специально посвященной функциональному анализу.

Можно рассматривать пространства непрерывных функций одной или нескольких переменных. Как «пространства» рассматривают также различные классы разрывных функции, определяя расстояние между функциями тем или иным способом в зависимости от характера подлежащих решению задач. Словом, число возможных «функциональных пространств» неограничено, и фактически в математике изучают много таких пространств.

Совершенно так же можно рассматривать «пространство кривых», «пространство выпуклых тел», «пространство возможных движений данной механической системы» и т. п. В § 5 главы VII (том 2) были, например, упомянуты теоремы о том, что на всякой замкнутой выцуклой поверхности

существуют по крайней мере три замкнутые геодезические и что каждые две точки соединимы бесконечным числом геодезических линий. При доказательствах этих теорем используются пространства кривых на поверхности: в первой теореме — пространство замкнутых кривых, во второй — пространство кривых, соединяющих две данные точки. В совокупности всевозможных кривых, соединяющих две данные точки, вводится своего рода расстояние, и таким путем эта совокупность превращается в пространство. Доказательство теоремы основывается на применении некоторых глубоких результатов топологии к этому пространству.

Формулируем теперь общий вывод.

Под «пространством» в математике понимают вообще любую совокупность однородных объектов (явлений, состояний, функций, фигур, значений переменных и т. п.), между которыми имеются отношения, подобные обычным пространственным отношениям (непрерывность, расстояние и т. п.). При этом, рассматривая данную совокупность объектов как пространство, отвлекаются от всех свойств этих объектов, кроме тех, которые определяются этими принятыми во внимание пространственноподобными отношениями. Эти отношения определяют то, что можно назвать строением или «геометрией» пространства. Сами объекты играют роль «точек» такого пространства; «фигуры» — это множества его «точек».

Предмет геометрии данного абстрактного пространства составляют те свойства пространства и фигур в нем, которые определяются принятыми в расчет пространственно-подобными отношениями. Так, например, при рассмотрении пространства непрерывных функций вовсе не занимаются свойствами отдельных функций самих по себе. Функция играет здесь роль точки и, стало быть, «не имеет частей», не имеет в этом смысле никакого строения, никаких свойств вне связи с другими точками; точнее, от всего этого отвлекаются. В функциональном пространстве свойства функций определяют только через их отношения друг к другу - через их расстояния и через другие отношения, которые можно вывести из расстояния.

Разнообразию возможных совокупностей объектов и различных отношений между ними отвечает неограниченное разнообразие пространств, изучаемых в математике. Пространства можно классифицировать по типам тех пространственно-подобных отношений, которые кладутся в основу их определения. Не имея в виду охватить все разнообразие типов абстрактных пространств, отметим прежде всего два наиболее важных тина: топологические и метрические пространства.

6. Топологическим пространством (см. главу XVIII) называют любую совокупность - множество каких-либо элементов — точек, где определено отношение прикосновении одной точки к множеству точек и соответственно отношение прикосновения или прилегания двух множеств (фигур) друг к другу. Это есть обобщение наглядно понятного отношения прикосновения или прилегания фигур в обычном пространстве.

Еще Лобачевский с замечательной прозорливостью указывал, что из всех отношений фигур самым основным является отношение прикосновения. «Прикосновение составляет отличительную принадлежность тел и дает им название геометрических, когда в них удерживаем это свойство, не принимая в рассуждение все другие, существенные ли то будут или случайные». Например, любая точка на окружности прилегает к совокупности всех внутренних точек круга; две части связного целого тела прилегают друг к другу. Как показало дальнейшее развитие топологии, именно свойства прикосновения лежат в основе всех остальных топологических свойств.

Понятие прикосновения выражает представление о бесконечной близости точки к множеству. Поэтому всякая совокупность объектов, где имеется естественное понятие о непрерывности, о бесконечном приближении, тем самым оказывается топологическим пространством.

Понятие топологического пространства является чрезвычайно общим, и учение о таких пространствах — абстрактная топология — представляет собой не что иное, как наиболее общее математическое учение о непрерывности.

Строго математическое определение общего топологического пространства может быть дано следующим образом.

Общим топологическим пространством называем множество каких-либо элементов — «точек», если в этом множестве для каждого содержащегося в нем множества М определены точки прикосновения так, что выполнены следующие условия — аксиомы:

1) Каждая точка множества М считается его точкой прикосновения. (Вполне естественно считать, что множество прикасается к каждой своей точке.)

2) Если множество содержит множество то множество точек прикосновения заведомо содержит все точки прикосновения (Говоря короче, но менее точно, у большего множества не меньше точек прикосновения.)

К этим аксиомам добавляют обычно еще другие, определяя таким путем те или иные типы топологических пространств.

Пользуясь понятием прикосновения, легко определить ряд важнейших топологических понятий. Эти понятия являются вместе с тем наиболее основными и общими понятиями геометрии, а их определения оказываются наглядно вполне ясными. Приведем примеры.

1) Прилегание множеств. Будем говорить, что множества прилегают друг к другу, если одно из них содержит хотя бы одну точку прикосновения другого. (В этом смысле, например, окружность прилегает к внутренности круга.)

2) Непрерывность, или, как говорят математики, связность фигуры. Фигура, т. е. множество точек М, связна, если ее нельзя разбить на не» прилегающие друг к другу части. (Например, отрезок связен, а отрезок без средней точки несвязен.)

3) Граница. Границей множества М в пространстве называется множество всех точек, которые прилегают как к самому М, так и к его дополнению т. е. к остальной части пространства (Это, очевидно, вполне естественное понятие границы.)

4) Внутренняя точка. Точка множества М называется внутренней, если она не лежит на его границе, т. е. если она не прилегает к его дополнению

5) Непрерывное отображение или преобразование. Преобразование множества М называется непрерывным, если оно не нарушает прикосновений. (Едва ли можно дать более естественное определение непрерывного преобразования.)

К этому списку можно было бы добавить еще другие важные определения, как, например; определение понятия сходимости последовательности фигур к данной фигуре или понятие о числе измерений пространства.

Мы видим, что через прикосновение определяются наиболее основные геометрические понятия. Значение топологии, в частности, состоит в том, что она дает этим понятиям строгие общие определения, дает основание для строгого применения соображений, связанных с наглядно понимаемой непрерывностью.

Топология есть учение о тех свойствах пространств, фигур в них и их преобразований, которые определяются отношением прикосновения.

Общность и фундаментальность этого отношения делает топологию наиболее общей геометрической теорией, проникающей в различные области математики — всюду, где только речь идет о непрерывности. Но точно так же в силу своей общности топология в своих наиболее абстрактных отделах уже выходит за рамки собственно геометрии. И все-таки в основе ее лежит обобщение свойств реального пространства, и наиболее плодотворные и сильные ее результаты связаны с применением методов, имеющих источник в наглядных геометрических представлениях. Таков, например, метод приближения общих фигур многогранниками, развитый П. С. Александровым и распространенный им, хотя и в абстрактной форме, на чрезвычайно общие типы топологических пространств.

Сейчас любой специалист, какие бы объекты он ни исследовал, обнаружив, что для них естественным образом вводится понятие близости, прилегания, немедленно получает в свои руки уже готовый, тонко разветвленный аппарат топологии, позволяющий делать выводы, далеко не тривиальные даже в их частных проявлениях.

7. Метрическим пространством называется множество каких-либо элементов — точек, между которыми определено расстояние, т. е. каждой паре точек отнесено число так, что выполнены следующие условия — аксиомы метрического пространства:

тогда и только тогда, когда точки совпадают.

2) Для любых трех точек

Это условие называется «неравенством треугольника», поскольку оно вполне аналогично известному свойству обычного расстояния между точками эвклидова пространства (рис. 31):

Примерами метрических пространств могут служить:

1) эвклидово пространство любого числа измерений

2) пространство Лобачевского,

3) любая поверхность с ее внутренней метрикой (том 2, глава VII, § 4),

Рис. 31.

4) пространство С непрерывных функций с расстоянием, определенным по формуле

5) описываемое в главе XIX гильбертово пространство, которое есть не что иное, как «бесконечномерное эвклидово» пространство.

Гильбертово пространство является важнейшим из пространств, применяемых в функциональном анализе; оно тесным образом связано с теорией рядов Фурье и вообще с теорией разложения функций в ряды по ортогональным функциям (координаты оказываются здесь коэффициентами таких рядов). Это пространство играет важную роль в математической физике и приобрело большое значение в квантовой механике. Оказывается, что совокупность всевозможных (не только стационарных) состояний какой-либо атомной системы, например атома водорода, с абстрактной точки зрения может рассматриваться как гильбертово пространство.

Число примеров метрических пространств, фактически рассматриваемых в математике, можно было бы еще значительно умножить; кстати, в следующем параграфе мы познакомимся с одним важным классом метрических пространств, называемых римановыми, но и приведенных пока примеров достаточно, чтобы видеть широту объема общего понятия метрического пространства.

В метрическом пространстве всегда можно определить все топологические понятия, а сверх того ввести также другие — «метрические» понятия. Таково, например, понятие длины кривой. Длина определяется в любом метрическом пространстве буквально так же, как обычно, и основные ее свойства при этом сохраняются. Именно, под длиной кривой понимают предел сумм расстояний между точками, последовательно расположенными на кривой при условии, что эти точки располагаются на кривой все гуще и гуще.

8. В математике рассматривают многие типы пространств помимо общих топологических или метрических. С целым классом таких пространств мы уже, собственно говоря, познакомились в § 6. Это пространства, в каждом из которых задана какая-либо группа преобразований (например, пространства проективное и аффинное). В таких пространствах можно определить «равенство» фигур. Фигуры «равны», если они переводятся одна в другую преобразованием из данной группы.

Мы не будем углубляться в определения возможных типов пространств; они достаточно разнообразны, и читатель может обратиться к специальной литературе по различным современным разделам геометрии.

Какой, однако, смысл в том, чтобы так расширять круг геометрических понятий? Для чего, например, нужно вводить понятие о пространстве непрерывных функций? Не достаточно ли решать задачи анализа его обычными средствами, не поднимаясь до таких абстрактных построений?

Общий ответ на этот вопрос состоит коротко в том, что, вводя в рассмотрение то или иное пространство, мы открываем путь применению геометрических понятий и методов, которые могут дать очень много.

Особенность геометрических понятий и методов состоит в том, что они основаны в конечном счете на наглядных представлениях и сохраняют, хотя бы и в абстрактной форме, их преимущества. То, чего аналитик достигает путем долгих выкладок, геометр может порой ухватить сразу. Начальный пример тому можно видеть в графике, который делает совершенно ясным ход той или иной зависимости между величинами. Геометрический метод можно характеризовать как метод синтетический, охватывающий целое, в отличие от метода аналитического. Конечно, в абстрактных геометрических теориях непосредственная наглядность исчезает, но остаются наглядные соображения по аналогии, остается синтетический характер геометрического метода.

Читатель уже знаком с применением геометрических картин в анализе, с геометрическим изображением комплексных чисел и функций от комплексной переменной, с геометрическими рассуждениями в доказательстве основной теоремы алгебры и с другими применениями геометрических понятий и методов. Всюду он может заметить то, о чем мы говорим здесь в общем виде. Мы упоминали в начале § 7, а также здесь, в п. 5, примеры теорем, доказываемых посредством применения многомерной геометрии. Укажем еще один пример задачи из анализа, которая решается уже на основе применения понятия о функциональном пространстве.

В топологии доказывается, что если взять на обычной плоскости любую область, имеющую форму деформированного круга, и затем как

угодно деформировать ее непрерывным образом, так, однако, чтобы в итоге она оказалась вложенной внутрь своего первоначального контура, то хотя бы одна точка области попадает после преобразования на место, где она была раньше. Этот факт — чисто топологический.

Рассмотрим теперь совершенно далекую от геометрии проблему: разыскивается функция удовлетворяющая дифференциальному уравнению

и принимающая при значение

Очевидно, вместо этого уравнения можно искать решение уравнения

Возникает естественный вопрос, а существует ли вообще удовлетворяющая этому условию функция

Взглянем на задачу иначе. Представим себе всякую непрерывную функцию точкой некоторого абстрактного пространства. Результат вычисления интеграла

будет снова непрерывной функцией от х, т. е. «точкой» нашего абстрактного пространства. Беря различные «точки» у, т. е. разные функции будем получать, вообще говоря, разные точки Тем самым совокупность точек нашего пространства отображается снова в его же точки. Вопрос о наличии решения уравнения (11) свелся к вопросу о том, найдется ли «точка» нашего абстрактного пространства, которая после такого преобразования попадет на свое прежнее «место»?

Естественный вопрос из теории дифференциальных уравнений оказался вопросом о свойстве абстрактного функционального пространства. Аналогия с упомянутой выше теоремой подсказывает нам, что речь идет, повидимому, о топологическом свойстве соответствующего пространства.

На этом пути при помощи необходимых топологических исследований получают, пожалуй, наиболее краткие доказательства многих теорем о существовании решений дифференциальных уравнений, в частности выясняют, что уравнение (10) действительно имеет решение при любой непрерывной функции