Общее определение меры.

Для того чтобы дать определение меры множеств более общей природы, чем открытые и замкнутые, нам понадобится одно вспомогательное понятие. Пусть Е — некоторое множество, лежащее на отрезке Рассмотрим всевозможные покрытия множества Е, т. е. всевозможные открытые множества V (Е), содержащие Е. Мера каждого из множеств V (Е) уже определена. Совокупность мер всех множеств V (Е) есть некоторое множество положительных чисел. Это множество чисел ограничено снизу (хотя бы числом 0) и потому имеет нижнюю грань, которую мы обозначим через Число называется внешней мерой множества Е.

Пусть внешняя мера множества Е, а — внешняя мера его дополнения относительно отрезка .

Если удовлетворяется соотношение

то множество Е называется измеримым, а число — его мерой: если соотношение (3) не удовлетворяется, то говорят, что множество Е неизмеримо; неизмеримое множество не имеет меры.

Отметим, что всегда

Сделаем несколько пояснений. Длина простейших множеств (например, интервалов и отрезков) обладает рядом замечательных свойств. Укажем важнейшие из них.

1. Если множества и Е измеримы и то

т. е. мера части множества Е не превосходит меры всего множества Е.

2. Если множества измеримы, то множество измеримо и

т. е. мера суммы не превосходит суммы мер слагаемых.

3. Если множества измеримы и попарно не пересекаются, то их сумма измерима и

т. е. мера конечной или счетной суммы попарно непересекающихся множеств равна сумме мер слагаемых.

Это свойство меры называется ее полной аддитивностью.

4. Мера множества Е не меняется, если его сдвинуть как твердое тело.

Желательно, чтобы основные свойства длины сохранялись и для более общего понятия меры множеств. Но, как можно совершенно строго показать, это оказывается невозможным, если приписывать меру произвольному множеству точек на прямой. Поэтому-то в данном выше определении и появляются множества, имеющие меру или измеримые, и множества, не имеющие меры или неизмеримые. Впрочем, класс измеримых множеств настолько широк, что это обстоятельство не вносит каких-либо существенных неудобств. Даже построение примера неизмеримого множества представляет известные трудности.

Приведем несколько примеров измеримых множеств.

Пример 1. Мера канторова совершенного множества Р (см. § 4). При построении множества Р из отрезка [0, 1] выбрасывается сперва один смежный интервал длины затем два смежных интервала длины 1/9, затем четыре смежных интервала длины Вообще, на шаге выбрасывается смежных интервалов длины

Таким образом, сумма длин всех выброшенных интервалов равна

Члены этого ряда представляют собою геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем 2/3. Поэтому сумма ряда равна

Итак, сумма длин всех смежных к канторовому множеству интервалов равна 1. Иначе говоря, мера дополнительного к Р открытого множества равна 1. Поэтому само множество имеет меру

Как показывает этот пример, множество может иметь мощность континуума и тем не менее иметь меру, равную пулю.

Пример 2. Мера множества всех рациональных точек отрезка [0, 1]. Покажем прежде всего, что . В § 2 было установлено, что множество счетно. Расположим точки множества в последовательность

Далее, зададим и окружим точку интервалом длины

Сумма есть открытое множество, покрывающее Интервалы 8, могут пересекаться, поэтому

Так как можно выбрать сколь угодно малым, то

Далее, согласно (3)

Так как содержится в отрезке [0, 1], то Итак,

откуда

Этот пример показывает, что множество может быть всюду плотным на некотором отрезке и тем не менее иметь меру, равную нулю.

Множества меры нуль во многих вопросах теории функций не играют никакой роли, и ими следует пренебрегать. Например, функция интегрируема по Риману в том и только в том случае, если она ограничена и мпожество ее точек разрыва имеет меру нуль. Можно было бы привести значительное число таких примеров.