Определяющие соотношения.

Способы вычисления групп путей подробно изучены в топологии. При этом оказалось, что, как правило, указанные группы приходится определять при помощи особого способа, который часто применяется в теории групп для задания абстрактных групп, а не только для фундаментальных групп в топологии. Заключается он в следующем.

Пусть некоторая группа. Элементы называются образующими элементами группы если всякий элемент можно представить в виде

где — некоторые из чисел не стоящие рядом номера могут совпадать; число сомножителей к произвольно; показатели а — не равные нулю положительные или отрицательные целые числа.

Чтобы знать группу достаточно, кроме образующих, знать еще. какие произведения предотавляют один и тот же элемент группы и какие представляют различные элементы. Таким образом, для задания группы нужно перечислить все равенства вида

имеющие место в группе Так как таких равенств всегда бесконечное множество, то, вместо перечисления всех их, даются обычно лишь такие равенства, из которых все остальные вытекают в силу групповых аксиом. Эти равенства и называются определяющими соотношениями.

Ясно, что одна и та же группа может быть задана самыми различными определяющими соотношениями.

Рассмотрим, например, группу Н с образующими и соотношениями

Положив будем иметь

Мы видим, что все элементы группы Н можно выразить через один элемент с, причем

Так как из этих равенств соотношения (10) непосредственно вытекают, то для с никаких нетривиальных соотношений нет. Следовательно,

группа Н является бесконечной циклической группой с образующим элементом с.

Если в группе можно выбрать такие образующие, которые не связаны никакими нетривиальными соотношениями, то группа называется свободной, а указанные образующие — свободными образующими. Если, например, группа имеет свободные образующие то всякий ее элемент однозначно записывается в форме

где показатели представляют собой целые числа, положительные или отрицательные, отличные от нуля, кроме «крайних» которые могут принимать и нулевые значения. Аналогичное утверждение справедливо и для свободных групп с большим числом образующих.

Рис. 24.

Если выписать образующие и определяющие соотношения для двух групп при условии, что рассматриваемые группы общих элементов не имеют, то, объединяя эти соотношения, мы получим новую группу, называемую свободным произведением данных.

Теория свободных групп, а также более общая теория свободных произведений, занимает в теории групп заметное место. С геометрической точки зрения свободное произведение групп это группа путей такой фигуры, которую можно представить в виде суммы двух замкнутых фигур, склеенных лишь в одной точке и имеющих своими группами путей. Мы знаем уже, что группа путей цилиндрической поверхности есть свободная группа с одним образующим. Из сделанного замечания следует, например, что группа путей поверхности, изображенной на рис. 24, есть свободная группа с двумя образующими.

Подобно тому, как определялась фундаментальная группа поверхности, можно ввести фундаментальную группу для пространственных тел, конечных или бесконечных.

Узлы и группы узлов. Как уже говорилось, с точки зрения топологии две поверхности считаются одинаковыми, если одну из них можно перевести в другую путем взаимно однозначного и взаимно непрерывного преобразования. Задача топологической классификации всех замкнутых поверхностей давно уже решена. Оказалось, что каждая замкнутая поверхность, расположенная в нашем обыкновенном пространстве, топологически эквивалентна либо сфере, либо сфере с несколькими ручками (рис. 25). Так, например, поверхность тора, изображенная на

рис. 22, может быть непрерывно деформирована в сферу с одной ручкой, поверхность куба — в поверхность сферы и т. Ввиду этого изучение фундаментальных групп для замкнутых поверхностей не очень интересно, так как замкнутые поверхности вполне классифицированы и без этих групп. Однако существуют очень простые задачи, где без фундаментальных групп до сих пор почти ничего не удалось сделать.

Рис. 25.

К числу их относится знаменитая проблема узлов.

Узлом мы будем называть замкнутую кривую, расположенную в обычном трехмерном пространстве. Это расположение может быть, как показывает рис. 26, весьма различным. Два узла называются эквивалентными, если один из них можно деформировать в другой непрерывном процессом, не разрывая кривой и не зацепляя ее саму за себя.

Рис. 26.

Сразу же возникают две задачи: 1) как узнать, эквивалентны или нет любые два узла, заданные своими плоскими чертежами; 2) как классифицировать все неэквивалентные узлы.

Обе задачи до сих пор остаются нерешенными, причем имеющиеся пока основные успехи в их частичном решении связаны с теорией групп.

Выбросим из пространства точки, принадлежащие данному узлу, и рассмотрим фундаментальную группу оставшегося множества точек. Эту групну и называют группой узла. Непосредственно очевидно, что

если узлы эквивалентны, то их группы изоморфны. Поэтому из неизоморфности групп узлов можно заключить о неэквивалентности самих узлов. Так, например, группа узла, приводящегося к окружности, есть циклическая группа, а группа узла, имеющего вид трилистника (рис. 27), есть более сложная группа. Последняя группа некоммутативна и, таким образом, неизоморфна группе окружности. Поэтому можно утверждать, что трилистниковый узел невозможно расправить в окружность, не разрубая его, — факт, очевидный экспериментально, но требующий для своего доказательства тонких математических соображений.

Рис. 27.

К сожалению, при рассмотрении групп узлов также встают не решенные до сих пор трудные задачи. Дело в том, что в топологии известны очень простые способы, как по заданному изображению узла найти образующие и определяющие соотношения группы узла. Но чтобы использовать группы для сравнения различных узлов, необходимо уметь решить, изоморфны пли нет группы, заданные своими образующими и определяющими соотношениями, а решение этой задачи до сих пор не известно. Более того, советский математик П. С. Новиков недавно доказал замечательную теорему о том, что невозможно указать никакой единый регулярный способ (точпее — так называемый нормальный алгорифм), посредством которого можно было бы всегда решить, определяют ли две заданные системы определяющих соотношений для одних и тех же образующих одну и ту же группу или нет. Эта теорема заставляет невольно высказать сомнение и в существовании какого-либо единообразного общего способа для распознавания эквивалентности узлов, заданных своими плоскими изображениями.