Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Определяющие соотношения.Способы вычисления групп путей подробно изучены в топологии. При этом оказалось, что, как правило, указанные группы приходится определять при помощи особого способа, который часто применяется в теории групп для задания абстрактных групп, а не только для фундаментальных групп в топологии. Заключается он в следующем. Пусть
где Чтобы знать группу
имеющие место в группе Ясно, что одна и та же группа может быть задана самыми различными определяющими соотношениями. Рассмотрим, например, группу Н с образующими
Положив
Мы видим, что все элементы группы Н можно выразить через один элемент с, причем
Так как из этих равенств соотношения (10) непосредственно вытекают, то для с никаких нетривиальных соотношений нет. Следовательно, группа Н является бесконечной циклической группой с образующим элементом с. Если в группе можно выбрать такие образующие, которые не связаны никакими нетривиальными соотношениями, то группа называется свободной, а указанные образующие — свободными образующими. Если, например, группа имеет свободные образующие
где
Рис. 24. Если выписать образующие и определяющие соотношения для двух групп при условии, что рассматриваемые группы общих элементов не имеют, то, объединяя эти соотношения, мы получим новую группу, называемую свободным произведением данных. Теория свободных групп, а также более общая теория свободных произведений, занимает в теории групп заметное место. С геометрической точки зрения свободное произведение групп Подобно тому, как определялась фундаментальная группа поверхности, можно ввести фундаментальную группу для пространственных тел, конечных или бесконечных. Узлы и группы узлов. Как уже говорилось, с точки зрения топологии две поверхности считаются одинаковыми, если одну из них можно перевести в другую путем взаимно однозначного и взаимно непрерывного преобразования. Задача топологической классификации всех замкнутых поверхностей давно уже решена. Оказалось, что каждая замкнутая поверхность, расположенная в нашем обыкновенном пространстве, топологически эквивалентна либо сфере, либо сфере с несколькими ручками (рис. 25). Так, например, поверхность тора, изображенная на рис. 22, может быть непрерывно деформирована в сферу с одной ручкой, поверхность куба — в поверхность сферы и т.
Рис. 25. К числу их относится знаменитая проблема узлов. Узлом мы будем называть замкнутую кривую, расположенную в обычном трехмерном пространстве. Это расположение может быть, как показывает рис. 26, весьма различным. Два узла называются эквивалентными, если один из них можно деформировать в другой непрерывном процессом, не разрывая кривой и не зацепляя ее саму за себя.
Рис. 26. Сразу же возникают две задачи: 1) как узнать, эквивалентны или нет любые два узла, заданные своими плоскими чертежами; 2) как классифицировать все неэквивалентные узлы. Обе задачи до сих пор остаются нерешенными, причем имеющиеся пока основные успехи в их частичном решении связаны с теорией групп. Выбросим из пространства точки, принадлежащие данному узлу, и рассмотрим фундаментальную группу оставшегося множества точек. Эту групну и называют группой узла. Непосредственно очевидно, что если узлы эквивалентны, то их группы изоморфны. Поэтому из неизоморфности групп узлов можно заключить о неэквивалентности самих узлов. Так, например, группа узла, приводящегося к окружности, есть циклическая группа, а группа узла, имеющего вид трилистника (рис. 27), есть более сложная группа. Последняя группа некоммутативна и, таким образом, неизоморфна группе окружности. Поэтому можно утверждать, что трилистниковый узел невозможно расправить в окружность, не разрубая его, — факт, очевидный экспериментально, но требующий для своего доказательства тонких математических соображений.
Рис. 27. К сожалению, при рассмотрении групп узлов также встают не решенные до сих пор трудные задачи. Дело в том, что в топологии известны очень простые способы, как по заданному изображению узла найти образующие и определяющие соотношения группы узла. Но чтобы использовать группы для сравнения различных узлов, необходимо уметь решить, изоморфны пли нет группы, заданные своими образующими и определяющими соотношениями, а решение этой задачи до сих пор не известно. Более того, советский математик П. С. Новиков недавно доказал замечательную теорему о том, что невозможно указать никакой единый регулярный способ (точпее — так называемый нормальный алгорифм), посредством которого можно было бы всегда решить, определяют ли две заданные системы определяющих соотношений для одних и тех же образующих одну и ту же группу или нет. Эта теорема заставляет невольно высказать сомнение и в существовании какого-либо единообразного общего способа для распознавания эквивалентности узлов, заданных своими плоскими изображениями.
|
1 |
Оглавление
|