Глава XVIII. ТОПОЛОГИЯ

§ 1. ПРЕДМЕТ ТОПОЛОГИИ

«Прикосновение составляет отличительную принадлежность тел и дает им название геометрических, когда в них удерживаем это свойство, не принимая в рассуждение все другие, существенные ли то будут или случайные».

Этими словами Н. И. Лобачевский начинает первую главу своего сочинения «Новые начала геометрии»

Пояснив только что приведенные слова чертежом (рис. 1), Лобачевский продолжает: «Два тела А, В, касаясь друг друга, составляют одно геометрическое тело С. Обратно, всякое тело С произвольным сечением разделяется на две части А, В».

Рис. 1.

Эти понятия прикосновения, соседства, бесконечной близости, а также в некотором смысле двойственное им понятие рассечения тела — понятия, положенные Лобачевским в основу здания всей геометрии, и являются по существу основными, преимущественными понятиями топологии во всем том объеме, в котором мы теперь понимаем эту дисциплину. Поэтому правы современные комментаторы великого геометра, когда они говорят 2, что «Лобачевский делает первую в истории математических наук попытку исходить в построении геометрии от топологических свойств тел... Понятия поверхность, линия, точка определяются у Лобачевского в терминах сечений и прикосновений тел». Некоторое представление о разнообразии конкретного геометрического содержания, которое могут отражать понятия прикосновения и сечения тел, как их представлял себе Лобачевский, можно получить из прилагаемых чертежей (рис. 2), заимствованных из уже упомянутого его сочинения.

Всякое преобразование геометрической фигуры, при котором не разрушаются отношения прикосновения различных частей фигуры, называется непрерывным, если прикосновения не только не разрушаются, но и не возникают вновь, то преобразование называется топологическим.

Рис. 2.

Следовательно, при топологическом преобразовании какой-либо фигуры, части этой фигуры, находящиеся в соприкосновении, остаются соприкасающимися, а части, не соприкасавшиеся, не могут стать соприкасающимися; короче говоря, при топологическом преобразовании не происходит ни разрывов, ни склеиваний. В частности, две различные точки не могут слиться в одну точку (в этом случае произошло бы новое прикосновение; рис. 3).

Рис. 3.

Поэтому топологическое преобразование всякой геометрической фигуры, рассматриваемой как множество образующих ее точек, есть преобразование не только непрерывное, но и взаимно однозначное: каждые две различные точки фигуры преобразуются в две различные точки. Таким образом, топологические преобразования являются взаимнооднозначными и взаимно непрерывными.

Наглядно, топологическое преобразование какой-либо геометрической фигуры (линии, поверхности и т. п.) можно себе представить следующим образом.

Предположим, что наша фигура изготовлена из какого-нибудь гибкого и растяжимого материала, например из резины. Тогда можно подвергать ее всевозможным непрерывным деформациям, при которых она в одних своих частях будет растягиваться, в других — сжиматься и вообще будет всячески изменять свои размеры и свою форму. Например, придав замкнутой резиновой нити форму окружности, мы можем затем растянуть ее

в чрезвычайно вытянутый эллипс, можем придать ей форму правильного или неправильного многоугольника, а также формы весьма причудливых замкнутых кривых, некоторые из которых изображены на рис. 4. Но мы не можем посредством топологического преобразования превратить окружность в восьмерку (для этого пришлось бы склеить две различные точки окружности; рис. 5) или в отрезок (для этого пришлось бы склеить одну полуокружность с другой или, наоборот, разорвать окружность в какой-либо ее точке).

Рис. 4.

Окружность есть простая замкнутая линия — она образует лишь одну петлю в отличие от восьмерки, которая образует две петли, или от трехлепестковой кривой (рис. 5), которая образует три петли. Свойство окружности быть простой замкнутой линией является свойством, сохраняющимся при произвольном ее топологическом преобразовании, или, как говорят, топологическим свойством.

Рис. 5.

Если мы возьмем шаровую поверхность, которую можно представлять себе в виде тонкого резинового мячика, то мы снова посредством топологического преобразования можем чрезвычайно изменить ее форму (рис. 6). Но мы не сможем посредством топологического преобразования превратить нашу сферическую поверхность в квадрат или в кольцевидную поверхность (поверхность баранки или спасательного круга), называемую тором (рис. 7). В самом деле, поверхность сферы обладает следующими двумя свойствами, каждое из которых сохраняется при любом топологическом преобразовании. Первое свойство заключается в замкнутости нашей поверхности: у нее нет краев (а у квадрата есть край); второе свойство заключается в том, что всякая замкнутая линия на сферической

поверхности является, по выражению Лобачевского, ее сечением; если по данной замкнутой линии, начерченной на нашем резиновом мячике, сделать разрез, то поверхность распадется на две не связанные между собой части.

Рис. 6.

Тор этим свойством не обладает: если разрезать тор по его меридиану (рис. 7), то он не распадется на части, а превратится в поверхность, имеющую вид согнутой трубки (рис. 8), которую потом уже легко превратить топологическим преобразованием в цилиндр (разогнуть).

Рис. 7.

Итак, в отличие от сферы, на торе не всякая замкнутая линия является сечением. Поэтому сферическую поверхность нельзя топологическим преобразованием превратить в тор.

Рис. 8.

Говорят, что сфера и тор суть топологически различные поверхности или поверхности, принадлежащие к различным топологическим типам, или, наконец, что эти поверхности не гомеоморфнн между собой. Наоборот, сфера и эллипсоид и вообще любые ограниченные выпуклые поверхности принадлежат к одному и тому же топологическому типу, т. е. гомеоморфны между собой. Это значит, что они могут быть переведены одна в другую топологическим преобразованием.