§ 2. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Определение линейного пространства.

Переходим к строгому определению линейного пространства.

Линейным пространством называется совокупность объектов любой природы, для которых имеют смысл понятия суммы и произведения на число, удовлетворяющих следующим требованиям:

2. Существует «нулевой» элемент О, такой, что при любом X.

3. Для любого элемента X существует противоположный — X, такой, что

Здесь — элементы линейного пространства; — числа.

Эти требования (называемые иначе аксиомами линейного пространства) весьма естественны и представляют собой формальное описание тех свойств действий сложения и умножения на число, которые неотъемлемо связывают с понятиями этих действий, в каком бы обобщенном смысле они ни понимались. Действия, имеющие тот или иной физический смысл, трактуются как сложение и умножение на число именно в тех случаях, когда эти действия удовлетворяют требованиям 1—8.

Отметим некоторые следствия из этих аксиом.

а) Нулевой элемент 0 пространства единственен, т. е. существует только один элемент, удовлетворяющий аксиоме 2.

б) Для данного элемента X существует единственный противоположный элемент.

в) Имеет смысл «вычитание», т. е. по данной сумме и одному из слагаемых всегда определяется второе слагаемое и при этом только одно. Именно: если то

Доказательства этих следствий очень просты, и мы не будем на них останавливаться. В дальнейшем элементы линейного пространства мы будем называть векторами.