§ 6. ВЫДЕЛЕНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ ИЗ ЭВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ

1. Принципиальное развитие геометрии параллельно с созданием геометрии Лобачевского шло еще по другому пути. В богатстве всех геометрических свойств пространства выделялись и подвергались самостоятельному изучению отдельные группы свойств, отличающиеся своеобразной замкнутостью и устойчивостью. Такие, обособленные по своим методам, исследования составили новые главы геометрии — науки о пространственных формах, подобно тому, как, например, анатомия или физиология составляют различные главы науки об организме человека.

Рис. 17.

Первоначально геометрия вообще не расчленялась. Она изучала главным образом метрические — связанные с измерением размеров фигур — свойства пространства. Лишь попутно рассматривались обстоятельства, связанные не с измерением, а с качественным характером взаимного расположения фигур, причем уже давно замечали, что часть таких свойств отличается своеобразной устойчивостью, сохраняясь при довольно существенных искажениях формы и изменениях положения фигур.

Рассмотрим, например, проектирование рисунка с одной плоскости на другую (рис. 17). Длины отрезков при этом меняются, изменяются углы, явно искажаются очертания предметов. Однако, например, свойство ряда точек лежать на одной прямой сохраняется, сохраняется свойство прямой касаться какой-нибудь линии и т. д.

О проектировании и проективных преобразованиях уже шла речь в главе III, где отмечалась их очевидная связь с перспективой — изображением пространственных фигур на плоскости. Исследование

свойств перспективы восходит к далеким временам до Эвклида, к работам древних архитекторов; перспективой занимались художники: Дюрер, Леонардо да Винчи, инженер и математик Дезарг (XVII в.). Наконец, в начале XIX в. Понселе впервые последовательно выделил и исследовал геометрические свойства, сохраняющиеся при любых проективных преобразованиях плоскости (или пространства), создав тем самым самостоятельную науку — проективную геометрию.

Рис. 18.

Казалось бы, свойств, сохраняющихся при любом проективном преобразовании, немного и они весьма примитивны, но это далеко не так. Не сразу, например, обращаешь внимание на то, что теорема, утверждающая, что точки попарного пересечения продолжений противоположных сторон вписанного в круг шестиугольника лежат на одной прямой, верпа и для эллипса, параболы и гиперболы. Она говорит лишь о проективиых свойствах, а эти кривые получаются проектированием круга. Тем более не очевидно, что теорема о пересеченпи в одной точке диагоналей описанного шестиугольника является своеобразным аналогом указанной выше теоремы; их глубокая связь вскрывается именно в проективной геометрии. Не очевидно также, что при проектировании, несмотря на искажение расстояний, для всяких четырех точек А, В, С, D (рис. 18), лежащих на одной прямой, двойное отношение остается неизменным

Это влечет за собой соблюдение в перспективе многих соотношений. Например, используя это обстоятельство, легко по снимку уходящей в даль дороги (рис. 18), где видно расположение телеграфных столбов А, В, С, определить расстояние от них до пункта

О проективной геометрии и использовании ее выводов в работах по аэрофотосъемке шла речь в главе III (том 1). Разумеется, ее законы используются в архитектуре, а также при построении панорам, декораций и т. п.

Выделение проективной геометрии сыграло важную роль в развитии самой геометрии.

2. Другим примером самостоятельной геометрии может служить аффинная геометрия. В ней исследуются те свойства фигур, которые не меняются при любых преобразованиях, в которых декартовы координаты первоначального и нового положения каждой точки связаны между собой линейными уравнениями:

(предполагается, что определитель

отличен от нуля).

Как оказывается, любое аффипное преобразование сводится к движению, может быть, еще отражению в плоскости, а затем к сжатиям или растяжениям пространства в трех взаимно перпендикулярных направлениях.

При любом из таких преобразований сохраняются уже довольно многие свойства фигур. Прямые остаются прямыми (вообще все «проективные» свойства сохраняются); кроме того, параллельные прямые остаются параллельными; сохраняется отношение объемов, отношение площадей фигур, лежащих в параллельных плоскостях или на одной и той же плоскости, отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или параллельных прямых, и т. д. Многие хорошо известные всем теоремы по существу принадлежат аффинной геометрии. Таковы, например, утверждения, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, что диагонали параллелограма взаимно делятся пополам, что середины параллельных хорд эллипса лежат на одной прямой и т. д.

С аффинной геометрией теснейшим образом связана вся теория кривых (и поверхностен) 2-го порядка. Само разделение этих кривых на эллипсы, параболы, гиперболы основано между прочим на аффинных свойствах фигуры: при аффинных преобразованиях эллипс преобразуется

разуется именно в эллипс, но никак не в параболу или гиперболу; аналогично, парабола может быть преобразована в любую другую параболу, по не в эллине и т. д.

Важность выделения и подробного исследования общих аффинных свойств фигур усугубляется тем, что несравненно более сложные преобразования в бесконечно малом оказываются по существу линейными, т. е. аффинными, а применение методов дифференциального исчисления связано именно с рассмотрением бесконечно малых областей пространства.

3. В 1872 г. Клейн в лекции, прочитанной в университете в Эрлангене и известной поэтому под названием Эрлангенской программы, суммируя результаты развития проективной, аффинной и других «геометрий», четко сформулировал общий принцип их построения, именно: можно рассматривать любую группу взаимно однозначных преобразований пространства и исследовать те свойства фигур, которые сохраняются при преобразованиях этой группы.

С этой точки зрения свойства пространства как бы расслаиваются по их глубине и устойчивости. Обычная эвклидова геометрия была создана путем отвлечения от всех свойств реальных тел, кроме геометрических; здесь, в специальных разделах геометрии, мы как бы совершаем еще одно абстрагирование уже внутри геометрии, отвлекаясь от ряда геометрических свойств, кроме определенного их круга, интересующего нас в данной отрасли.

По указанному Клейном принципу можно строить много геометрий. Например, можно рассматривать преобразования, сохраняющие углы между любыми линиями (конформные преобразования пространства), и, исследуя сохраняющиеся при таких преобразованиях свойства фигур, говорить о соответствующей конформной геометрии. Можно рассматривать преобразования не обязательно всего пространства. Так, рассматривая точки и хорды круга при всех его преобразованиях в себя, переводящих хорды в хорды, и выделяя свойства, сохраняющиеся при таких преобразованиях, мы получаем геометрию, которая, как было показано в §§ 4 и 5, совпадает с геометрией Лобачевского.

4. Развитие выделившихся таким образом теорий даже с принципиальной стороны (не говоря уже о фактическом содержании) не остановилось на том, что здесь было сказано.

Интересуясь, например, только аффинными свойствами фигур, мы можем, отвлекаясь от всех других свойств, мыслить себе пространство,

а также геометрические фигуры в нем, обладающими только интересующими нас свойствами и как бы вообще не имеющими никаких других свойств. В этом «пространстве» фигуры вообще не будут иметь никаких других свойств, кроме аффинных. Естественно будет пытаться геометрию такого абстрактного пространства тоже излагать аксиоматически, т. е. считать, что речь идет о некоторых отвлеченных объектах: «точках», «прямых», «плоскостях», свойства которых (этих свойств будет, очевидно, меньше, чем в случае эвклидовой геометрии) указываются в некоторых аксиомах, причем выводимые из этих аксиом следствия будут соответствовать аффинным свойствам фигур обычного пространства.

Это действительно удается сделать; и такую совокупность абстрактных «точек», «прямых» и «плоскостей» с системой их свойств называют аффинным пространством.

Рис. 19.

Точно так же можно мыслить себе (абстрактную систему объектов, обладающих только тем кругом свойств, которые соответствуют проективным свойствам фигур эвклидова пространства. (На этот раз отличие системы аксиом от аксиом обычной геометрии оказывается еще более существенным.)

5. Если дальше углубляться в природу геометрических образов, можно заметить, что в целом ряде вопросов играют роль свойства, еще более глубокие, чем проективные, и настолько прочно связанные с данной фигурой, что они сохраняются при любых искажениях фигур, если только эти искажения не приводят к разрыву или склеиванию частей фигуры. (Желая уточнить представление о таком непрерывном искажении, можно, кроме наглядного описания, сослаться на известное нам из анализа определение непрерывной функции и сказать, что речь идет о любом преобразовании всех точек фигуры в повое положение, при котором декартовы координаты точек в новом положении выражаются непрерывными функциями их прежних координат, а старые координаты в свою очередь могут быть выражены как непрерывные функции новых.)

Свойства фигур, сохраняющиеся при любых таких преобразованиях, называются топологическими, а наука, изучающая их, — топологией (см. главу XVIII).

Тесно связанные с фигурами топологические свойства для простейших фигур отличаются исключительной наглядностью. Почти очевидно, например, что на плоскости всякая линия, которую можно получить, непрерывно деформируя окружность, разбивает плоскость на две части, лежащие внутри и вне этого, сколь угодно извилистого контура; поэтому

свойство окружности делить плоскость — топологическое. Наглядно, пожалуй, очевидно, что поверхность тора (рис. 19) никак нельзя превратить непрерывным преобразованием в сферу, поэтому свойство какой-либо поверхности допускать непрерывное преобразование, скажем в поверхность тора, будет ее топологическим свойством, отличающим ее от многих других поверхностей.

Рассуждения, связанные с непрерывностью, отличаются наглядностью и часто столь хорошо поясняют суть дела, что представляется весьма заманчивым уметь превращать их в строгие доказательства, а тем более распространять аналогичные приемы на другие несравненно более сложные задачи.

Рис. 20.

Вот, например, рассуждение, поясняющее справедливость основной теоремы алгебры о том, что всякое уравнение

имеет хотя бы один действительный или комплексный корень.

Пусть z — точки одной комплексной плоскости, а — соответствующие им точки другой комплексной плоскости причем обозначает левую часть уравнения (7). При х очень больших по абсолютной величине функция относительно мало отличается от функция же весьма проста. В частности, легко проверить, что если точка непрерывно двигаясь, опишет на комплексной плоскости окружность с центром в начале координат, то точка ровно раз обойдет аналогичную окружность радиуса на плоскости Точка же

опишет n петель, образующих какой-то контур Г, сравнительно близкий к линии, пройденной точкой

Если теперь окружность, описываемую точкой непрерывно стягивать в одну точку, то и раз запетленный контур Г, описываемый точкой будет непрерывно деформироваться, также стягиваясь в точку. Но довольно очевидно, что он не может стянуться в точку ни разу не пересекая при этом начало координат О, которое этот контур первоначально охватывал. Значит, он хотя бы раз пройдет через О, и при таком z будет Это z и будет корнем уравнения (7). Собственно говоря, уже ясно, что корней в известном смысле должно быть именно так как каждая из петель контура Г, стягиваясь, пересечет точку О.

Наше рассуждение требует, конечно, уточненного обоснования тех, как раз топологических, свойств контура и его деформации, которыми мы здесь воспользовались.

Можно было бы привести много примеров использования топологических свойств в самых различных, порой весьма далеких от геометрии разделах математики.

При исследовании топологических свойств перед нами опять встает возможность мыслить себе отвлеченную совокупность объектов, обладающих вообще только такого рода свойствами (см. § 7 главы XX). Такую совокупность называют абстрактным топологическим пространством.

Эта точка зрения уже несравненно шире, чем исследование топологических свойств именно геометрических фигур. Топологические пространства могут быть весьма разные; скажем, все точки поверхности тора с их общей закономерностью взаимного прилегания образуют одно топологическое пространство, все точки плоскости — другое, все эвклидово пространство — третье; все точки многолистных римановых поверхностей, о которых шла речь в главе IX (том 2), § 5, посвященной теории функций комплексного переменного, образуют другие, притом разные, топологические пространства. Но замечательнее всего, что между объектами, далеко не похожими на наше представление о геометрических точках, часто ясно устанавливается понятие близости и прилегания. Скажем, для всевозможных положений какого-нибудь шарнирного механизма можно ясно указать, что значит «близкие» положения, что значит одно положение «прилегает» к бесконечной серии других, среди которых есть положения, сколь угодно близкие к данному.

Мы видим, что понятие топологического пространства является чрезвычайно общим. В этой связи мы еще раз вернемся к нему в § 8.

Целью этого параграфа было не столько дать читателю представление о разных геометриях, сколько стремление показать, что самые конкретные задачи приводят к выделению и исследованию отдельных групп геометрических свойств; что их исследование влечет за собой создание представления об отвлеченных геометрических объектах,

обладающих только этими свойствами, т. е. что выделение этих свойств в их чистом виде приводит нас к представлению о соответствующем абстрактном пространстве.

О других путях, также приводящих к построению разного рода абстрактных пространств, будет идти речь в следующих параграфах.