Разрешимость уравнений в радикалах.

Группа Галуа уравнения характеризует, как это видно из определения, внутреннюю симметрию корней уравнения. Оказалось, что все наиболее существенные вопросы, касающиеся возможности свести решение заданного уравнения к решению уравнений низших степеней, а также многие другие, могут быть сформулированы в виде вопросов о строении группы Галуа, а группа Галуа каждого уравнения степени есть некоторая группа подстановок степени, т. е. объект вполне конечный, все соотношения в котором, по меньшей мере теоретически, можно найти хотя бы путем проб.

Изучение группы Галуа представляет собой замечательный метод решения проблем, относящихся к алгебраическим уравнениям высших степеней. Например, можно доказать, что уравнение разрешимо в радикалах в том и только в том случае, если разрешима его группа Галуа (определение разрешимой группы см. § 3, стр. 268). Уже упоминалось,

что симметрические группы 2, 3 и 4-й степени разрешимы. Это находится в полном согласии с общеизвестным фактом разрешимости в радикалах уравнений 2, 3 и 4-й степени. Группы Галуа «общих» уравнений 5, 6-й и т. д. степеней суть симметрические группы тех же степеней. Но эти группы неразрешимы. Отсюда следует, что общие уравнения выше 4-й степени не могут быть разрешены в радикалах.

К числу уравнений, не разрешимых в радикалах, относятся и уравнения (9) при поскольку их группа Галуа также симметрическая.