Геометрические аналогии в линейной алгебре.

Кроме описанного выше источника возникновения идейи задач линейной алгебры — потребностей математического анализа, геометрия, в частности аналитическая геометрия, тоже нуждается в развитии линейной алгебры и со своей стороны обогащает ее важными идеями и аналогиями. Известно, что аналитическая геометрия на плоскости и в еще большей мере в пространстве, в части, касающейся теории прямых и плоскостей, использует в простейшей форме аппарат линейной алгебры. Действительно, прямая линия на плоскости задается линейным уравнением с двумя переменными, которое связывает две координаты любой точки прямой. Плоскость в пространстве задается линейным уравнением с тремя переменными (координатами произвольной точки этой плоскости), прямая в пространстве — двумя линейными уравнениями.

Известно, что особенная простота и ясность вносятся в аналитическую геометрию, а следовательно, и в теорию простейших систем линейных уравнений, если использовать понятие вектора. Подобную же простоту и ясность вносит в линейною алгебру, в частности в общую теорию систем линейных уравнений, использование понятия вектора в некотором обобщенном смысле. Путь для этого обобщения следующий. Вектор (в пространстве) задается тремя числами — тремя проекциями на оси координат. Каждая тройка действительных чисел в свою очередь может быть изображена геометрически в виде вектора (в пространстве).

Для векторов определены действия сложения («по правилу параллелограма») и умножения на число. Эти действия определяются в соответствии с аналогичными действиями над силами, скоростями, ускорениями и другими физическими величинами, изображаемыми посредством векторов.

Если векторы задаются своими координатами (т. е. проекциями на координатные оси), то действиям сложения и умножения на число, производимым над векторами, соответствуют одноименные действия над строками (или столбцами) из их координат.

Таким образом, строку или столбец из трех элементов удобно геометрически интерпретировать как вектор в трехмерном пространстве, при этом основные действия над «строками» (или «столбцами») интерпретируются соответствующими действиями над векторами в пространстве, так что алгебра строк (или столбцов) из трех элементов формально

ничем отличается от алгебры векторов трехмерного пространства. Это обстоятельство делает естественным введение в линейную алгебру геометрической терминологии.

Столбец (или строка) из чисел рассматривается как вектор», т. е. как элемент некоторого -мерного векторного пространства».

Суммой векторов считается вектор ; произведением вектора на число с считается вектор . Совокупность всех векторов (столбцов) составляет, по определению, n-мерное арифметическое векторное пространство.

Наряду с -мерным арифметическим векторным пространством можно ввести понятие -мерного точечного пространства, сопоставляя каждому столбцу из действительных чисел геометрический образ — точку. Тогда -мерное векторное пространство определяется следующим образом. Каждой паре точек А и В сопоставляем вектор идущий из точки А в точку В, считая, по определению, его координатами (проекциями на оси координат) разности соответствующих координат точек В и А. Два вектора считаются равными, если равны их соответствующие координаты, аналогично тому, как в трехмерном пространстве мы считаем векторы равными, если один из них получается из другого параллельным переносом.

Между векторами -мерного векторного пространства и точками -мерного точечного пространства естественным образом устанавливается взаимно однозначное соответствие.

Точка принимается за «начало координат», и каждой точке соотносится вектор, соединяющий начало координат с этой точкой. Тогда каждому вектору сопоставляется точка., являющаяся концом этого вектора, в предположении, что его начало совмещено с началом координат. Введение точечного пространства создает новые аналогии, позволяющие лучше «видеть» в. -мерном пространстве.

Однако при дальнейших обобщениях (§ 2) строгое определение точечного пространства становится значительно более сложным и поэтому мы не будем использовать это понятие. Читателю, желающему пользоваться аналогиями, возникающими из рассмотрения точечного пространства, следует представлять себе элементы векторного пространства как векторы, исходящие из начала координат.

Введение геометрической терминологии дает возможность использовать в линейной алгебре аналогии, основанные на геометрической интуиции, создающейся при изучении геометрии трехмерного пространства.

Конечно, этими аналогиями нужно пользоваться с известной осторожностью, имея в виду возможность проверить строго логически каждое наглядно-геометрическое рассуждение и применяя только точные определения «геометрических» понятий и строго доказанные теоремы.

Характерной особенностью элементов -мерного векторного пространства является йалпчие действий сложения и умножения на число, по своим свойствам напоминающих действия над числами. Именно, как уже было отмечено в описании свойств действий над матрицами, для действия сложения выполнены переместительный и сочетательный законы, верны распределительные законы (при умножении на число), действие сложения однозначно обратимо, произведение вектора на число дает нулевой вектор в том и только в том случае, если либо вектор есть нулевой вектор, либо число равно нулю.

Однако упомянутыми особенностями обладают не только столбцы (и строки). Ими обладают и совокупности матриц одинакового строения и физические векторные величины: силы, скорости, ускорения и т. д. Ими обладают и некоторые математические объекты совершенно другой природы, например: совокупность всех многочленов от одной переменной, совокупность всех непрерывных функций, заданных на данном отрезке совокупность всех решений линейного однородного дифференциального уравнения и т. д.

Указанное обстоятельство делает полезным дальнейшее обобщение векторного пространства, именно введение общих линейных пространств. Элементами таких обобщенных пространств могут быть любые математические или физические объекты, для которых некоторым естественным образом определены действия сложения и умножения на число. Такой весьма общий и отвлеченный подход к понятию линейного пространства не вносит, как мы увидим далее, никаких осложнений в теорию: любое линейное (конечно, -мерное; что это значит, будет объяснено в следующем параграфе) пространство по своему строению и свойствам ничем не отличается от арифметического линейного пространства, по область приложений при этом обобщении значительно расширяется, появляется возможность применять методы линейной алгебры к весьма широкому кругу задач теоретического естествознания.