Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 12. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫОбщее определение алгебр (гиперкомплексных систем). Гиперкомплексные числа определялись как величины, для задания которых необходимо несколько действительных чисел, причем для определенности гиперкомплексные числа рассматривались просто как системы действительных чисел. Однако такая точка зрения слишком узка, и для теоретических исследований постепенно стали применять следующее более общее определение. Некоторая система величин S называется алгеброй (или гиперкомплексной системой) над полем Р, если а) для каждого элемента а поля Р и каждой величины б) для каждых двух величин в) для каждых двух величин системы
3) в системе
8) среди величин системы
узе. В этом определении роль, которую до сих пор играли действительные числа, играют элементы произвольного поля Р. Из условия 8 видно, что каждая гиперкомплексная величина определяется системой Первые восемь требований означают, что Требования 9 и 10 можно объединить в виде равенств
из которых следует, что действие умножения есть действие линейное относительно каждого из сомножителей. Из двух терминов «гиперкомплексная система» и «алгебра» в последние годы отдается предпочтение второму, так как элементы столь общих «гиперкомплексных систем» по своим свойствам могут настолько сильно отличаться от обычных чисел, что называть их «гиперкомплекс-ными числами» нецелесообразно. Термины «гиперкомплексные системы», «гиперкомплексные числа» применяются теперь лишь к простейшим алгебрам, например к системе обыкновенных кватернионов. Из требований 1—10 видно, что в алгебрах не предполагается коммутативности и ассоциативности умножения, не предполагается существования единичного элемента и выполнимости «деления». В каждой алгебре Система комплексных чисел, рассматриваемая как алгебра над полем действительных чисел, - имеет своим базисом числа 1 и Пусть
Если
Аналогично для любого а из поля Р
Следовательно, действия сложения величин алгебры и их умножения на элементы поля Р производятся вполне однозначно по приведенным формулам. Действие перемножения величин алгебры должно каждый раз задаваться особо, причем нет нужды знать, как перемножаются произвольные величины алгебры, достаточно знать закон перемножения лишь базисных величин
Каждое из произведений
Здесь второго множителя, а третий указывает номер того элемента, коэффициентом при котором является Легко подсчитать число структурных констант алгебры ранга
структурные константы будут равны соответственно
Обратно, пусть дано Выше мы видели, что каждая алгебра, вообще говоря, имеет бесчисленное множество различных базисов. Структурные константы зависят от выбора базиса, и поэтому одна и та же алгебра определяется различными системами структурных констант. Какие же алгебры следует считать различными и какие одинаковыми? В теории алгебр принято считать две алгебры над одним и тем же полем Р одинаковыми, если они изоморфны, т. е. если величины одной алгебры можно так взаимно однозначно сопоставить с величинами другой, что сумма и произведение двух любых величин первой алгебры будут сопоставлены соответственно с суммой и произведением соответствующих величин второй алгебры, а произведению какого-либо элемента поля Р на величину из первой алгебры будет отвечать произведение того же элемента поля Р на соответственный элемент второй алгебры. Это определение одинаковости алгебр показывает, что в теории алгебр изучают лишь те свойства величин и систем величин алгебр, которые находят свое выражение в виде некоторых свойств трех основных операций. Короче говоря, теория алгебр изучает свойства операций, производимых над величинами алгебр, и не интересуется с природой величин, составляющих алгебры. Легко доказать, что если две алгебры изоморфны, то величинам, составляющим базис одной алгебры, отвечают величины, образующие базис другой, причем структурные константы, вычисленные в соответствующих базисах, являются соответственно равными. Обратно, если две алгебры над одним и тем же полем имеют в подходящих базисах соответственно равные структурные константы, то такие алгебры изоморфны. Среди алгебр весьма важную роль играли и до сих пор играют ассоциативные алгебры, т. е. алгебры, действие умножения в которых удовлетворяет ассоциативному закону
Они представляют интерес ввиду тесной связи, существующей, между алгебрами Ли и группами Ли, о которых шла речь в § 7.
|
1 |
Оглавление
|