§ 12. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ

Общее определение алгебр (гиперкомплексных систем). Гиперкомплексные числа определялись как величины, для задания которых необходимо несколько действительных чисел, причем для определенности гиперкомплексные числа рассматривались просто как системы действительных чисел. Однако такая точка зрения слишком узка, и для теоретических исследований постепенно стали применять следующее более общее определение.

Некоторая система величин S называется алгеброй (или гиперкомплексной системой) над полем Р, если

а) для каждого элемента а поля Р и каждой величины системы определен элемент этой системы, называемый произведением а на а и обозначаемый через

б) для каждых двух величин системы однозначно определена некоторая величина той же системы, называемая суммой первых двух величин и обозначаемая через

в) для каждых двух величин системы однозначно определена величина той же системы, называемая произведением первых величин и обозначаемая через и если указанные три действия обладают следующими свойствами

3) в системе существует нулевая величина со свойством

где 1 — единичный элемент поля Р,

8) среди величин системы существуют такие величины через которые каждая величина системы может быть однозначно представлена в виде

узе.

В этом определении роль, которую до сих пор играли действительные числа, играют элементы произвольного поля Р. Из условия 8 видно, что каждая гиперкомплексная величина определяется системой элементов поля Р, и, следовательно, в зависимости от выбора поля Р может определяться комплексными числами, рациональными числами, действительными числами и т. д.

Первые восемь требований означают, что образует линейное конечномерное пространство (см. главу XVI, § 2) над полем Р, называемым основным полем алгебры.

Требования 9 и 10 можно объединить в виде равенств

из которых следует, что действие умножения есть действие линейное относительно каждого из сомножителей.

Из двух терминов «гиперкомплексная система» и «алгебра» в последние годы отдается предпочтение второму, так как элементы столь общих «гиперкомплексных систем» по своим свойствам могут настолько

сильно отличаться от обычных чисел, что называть их «гиперкомплекс-ными числами» нецелесообразно. Термины «гиперкомплексные системы», «гиперкомплексные числа» применяются теперь лишь к простейшим алгебрам, например к системе обыкновенных кватернионов.

Из требований 1—10 видно, что в алгебрах не предполагается коммутативности и ассоциативности умножения, не предполагается существования единичного элемента и выполнимости «деления».

В каждой алгебре существует базис, т. е. такая система элементов через которую все элементы алгебры однозначно представляются в виде линейных комбинаций с коэффициентами из основного поля Р. Каждая алгебра может иметь бесчисленное множество базисов, но число элементов каждого базиса одно и то же и называется рангом алгебры.

Система комплексных чисел, рассматриваемая как алгебра над полем действительных чисел, - имеет своим базисом числа 1 и . Но нары чисел 2 и — действительные, также могут служить базисами.

Пусть — базис какой-нибудь алгебры над некоторым полем Р. Согласно определению, всякий элемент алгебры однозначна записывается в форме

Если — какой-либо другой ее элемент, то, в силу свойств 1—6, имеем

Аналогично для любого а из поля Р

Следовательно, действия сложения величин алгебры и их умножения на элементы поля Р производятся вполне однозначно по приведенным формулам. Действие перемножения величин алгебры должно каждый раз задаваться особо, причем нет нужды знать, как перемножаются произвольные величины алгебры, достаточно знать закон перемножения лишь базисных величин Действительно, в силу свойств 9 и 10

Каждое из произведений есть некоторая величина алгебры и поэтому может быть выражена через базисные элементы

Здесь означают элементы основного поля Р, над которым строится алгебра. Первый индекс означает номер первого множителя, второй —

второго множителя, а третий указывает номер того элемента, коэффициентом при котором является Коэффициенты называются структурными константами алгебры, так как знание их вполне определяет все действия над величинами алгебры.

Легко подсчитать число структурных констант алгебры ранга Каждая константа имеет три номера . Поэтому число структурных констант алгебры ранга равно числу троек, образованных натуральными числами 1, 2, т. е. равно Например, система комплексных чисел над полем действительных чисел имеет базис «состоящий из чисел . В силу равенств

структурные константы будут равны соответственно

Обратно, пусть дано элементов какого-нибудь поля Р, занумерованных тройками натуральных чисел Тогда их можно принять в качестве структурных констант алгебры над полем Р, принимая равенства как определение правила умножения в алгебре.

Выше мы видели, что каждая алгебра, вообще говоря, имеет бесчисленное множество различных базисов. Структурные константы зависят от выбора базиса, и поэтому одна и та же алгебра определяется различными системами структурных констант.

Какие же алгебры следует считать различными и какие одинаковыми? В теории алгебр принято считать две алгебры над одним и тем же полем Р одинаковыми, если они изоморфны, т. е. если величины одной алгебры можно так взаимно однозначно сопоставить с величинами другой, что сумма и произведение двух любых величин первой алгебры будут сопоставлены соответственно с суммой и произведением соответствующих величин второй алгебры, а произведению какого-либо элемента поля Р на величину из первой алгебры будет отвечать произведение того же элемента поля Р на соответственный элемент второй алгебры.

Это определение одинаковости алгебр показывает, что в теории алгебр изучают лишь те свойства величин и систем величин алгебр, которые находят свое выражение в виде некоторых свойств трех основных операций. Короче говоря, теория алгебр изучает свойства операций, производимых над величинами алгебр, и не интересуется с природой величин, составляющих алгебры.

Легко доказать, что если две алгебры изоморфны, то величинам, составляющим базис одной алгебры, отвечают величины, образующие базис другой, причем структурные константы, вычисленные в соответствующих базисах, являются соответственно равными. Обратно, если две алгебры над одним и тем же полем имеют в подходящих базисах соответственно равные структурные константы, то такие алгебры изоморфны.

Среди алгебр весьма важную роль играли и до сих пор играют ассоциативные алгебры, т. е. алгебры, действие умножения в которых удовлетворяет ассоциативному закону . Изложению свойств таких алгебр и посвящен настоящий параграф. Среди неассоциативных наиболее интересными являются алгебры Ли, для которых предполагается выполнение следующих свойств умножения:

Они представляют интерес ввиду тесной связи, существующей, между алгебрами Ли и группами Ли, о которых шла речь в § 7.