Общий случай систем линейных уравнений.

Обратимся к исследованию систем линейных уравнений в самом общем случае, даже не предполагая, что число уравнений равно числу неизвестных. В такой общей постановке нельзя, естественно, ожидать, что решение системы всегда существует или в случае существования оно окажется единственным. Естественно предполагать, что если число уравнений меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений. Например, двум уравнениям 1-й степени с тремя неизвестными удовлетворяют координаты любой из точек прямой линии, являющейся линией пересечения плоскостей, определяемых уравнениями. Однако может быть, что в этом случае система совсем не имеет решений, именно когда плоскости параллельны. Если же число уравнений больше числа неизвестных, то система, как правило, решений не имеет. Однако и в этом

случае возможно, что система имеет решения и даже бесконечно много.

Для исследования вопроса о существовании и характере множественности решений системы в такой общей постановке обратимся к «геометрическому» истолкованию системы.

Систему уравнений

интерпретируем в -мерном пространстве столбцов в виде

Здесь обозначают столбцы из коэффициентов при соответствующих неизвестных, В — столбец из свободных членов.

В этой интерпретации вопрос о существовании решения системы превращается в вопрос о том, является ли данный вектор В линейной комбинацией векторов

Ответ на этот вопрос почти очевиден. Чтобы вектор В был линейной комбинацией векторов необходимо и достаточно, чтобы вектор В содержался в подпространстве, натянутом на или, иными словами, чтобы подпространства, натянутые на системы векторов совпадали.

Так как первое из этих подпространств содержится во втором, то для их совпадения необходимо и достаточно, чтобы были равны их размерности. Напомним, что размерность подпространства, натянутого на данную систему векторов, называется рангом этой системы векторов. Таким образом, необходимым и достаточным условием существования решения системы является равенство рангов систем векторов

Можно доказать, но мы на этом не будем останавливаться, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из координат этих векторов. Здесь под рангом матрицы понимается наивысший из порядков отличных от нуля определителей, которые можно составить из данной матрицы посредством вычеркивания части ее строк и столбцов.

Так как координатами векторов (в естественном для пространства столбцов базисе) являются коэффициенты системы, а координатами вектора В — ее свободные члены, то мы получаем следующую окончательную формулировку условия существования решения системы.

Для существования по крайней мере одного решения системы линейных уравнений

необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из коэффициентов системы, равнялся рангу матрицы, составленной из коэффициентов и свободных членов.

Теперь исследуем характер множественности решений, если они существуют. Пусть какое-либо решение системы (8).

Положим Тогда в силу того, что образует решение системы (8), новые неизвестные должны удовлетворять однородной системе

с той же матрицей коэффициентов. Обратно, если к исходному решению системы (8) добавить любое решение однородной системы (9), то получится снова решение системы (8).

Таким образом, чтобы получить общее решение системы (8), нужно взять какое-либо ее частное решение и сложить с общим решением однородной системы (9).

Тем самым вопрос о характере множественности решений системы (8) сводится к тому же вопросу для однородной системы (9). Этот вопрос мы рассмотрим в следующем пункте.