§ 5. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

Рассмотрим простейшее дифференциальное уравнение

заданное в данной плоской области Его геометрический смысл заключается в том, что в каждой точке области определено направление, угловой коэффициент которого равен где — некоторая непрерывная функция точки Как говорят, в области задано непрерывное поле направлений; мы можем его легко превратить в непрерывное векторное поле, беря, например, в каждом из заданных направлений вектор единичной длины. Задача интегрирования дифференциального уравнения (2) заключается в том, чтобы разложить, если это возможно, данную плоскую область на попарно не пересекающиеся кривые («интегральные кривые» уравнения) таким образом, чтобы в каждой точке области заданное в ней направление было направлением касательной к единственной интегральной кривой, проходящей через эту точку.

Рассмотрим, например, уравнение

В каждой точке на плоскости отнесенное ей направление есть очевидно направление луча (где О — начало координат). Интегральные кривые суть прямые, проходящие через точку О. Через каждую отличную от О точку плоскости проходит единственная интегральная кривая. Что же касается начала координат, то это особая точка данного дифференциального уравнения (так называемый «узел»), через нее проходят все интегральные кривые.

Если мы возьмем дифференциальное уравнение

то увидим, что оно относит каждой отличной от О точке направление, которое перпендикулярно Интегральные кривые

в этом случае — окружности с центром в точке О, которая снова является особой точкой нашего дифференциального уравнения, но особой точкой совсем другого типа. Это уже не «узел», а так называемый «центр». Существуют и другие типы особых точек (см. том 2, главу V, § 6), некоторые из них изображены на рис. 21, 22. У дифференциального уравнения нет замкнутых интегральных кривых. Напротив, дифференциальное уравнение имеет только замкнутые интегральные кривые. Возможны интегральные кривые, спирально закручивающиеся вокруг особой точки, которая в этом случае называется фокусом.

Чрезвычайно важным в разнообразных приложениях является случай так называемого предельного цикла — замкнутой интегральной кривой, на которую спиралевидно накручиваются другие интегральные кривые. Возможны и многие другие случаи взаимного расположения интегральных кривых, а также их расположения по отношению к особым точкам. Все проблемы, касающиеся формы и расположения интегральных кривых дифференциального уравнения, а также числа, характера и взаимного расположения его особых точек, относятся к качественной теории дифференциальных уравнений. Как показывает само название, качественная теория дифференциальных уравнений оставляет в стороне непосредственное интегрирование дифференциального уравнения «в конечном виде», равно как и методы приближенного, численного интегрирования. Основным предметом качественной теории является по существу топология поля направлений и системы интегральных кривых данного дифференциального уравнения.

Качественный подход к дифференциальным уравнениям, включающий такие вопросы, как существование замкнутых интегральных кривых, в частности все вопросы, связанные с существованием, числом и возникновением предельных циклов, продиктован в первую очередь проблемами механики, физики и техники. Впервые эти вопросы возникли в связи с исследованиями Пуанкаре по небесной механике и космогонии, которые, как уже упоминалось, и явились поводом для топологических изысканий французского геометра. В нашей стране топологическая проблематика теории дифференциальных уравнений заняла одно из центральных мест в проведенных советскими учеными выдающихся исследованиях, которые относятся к теории колебаний и радиотехнике — я имею в виду школу Л. И. Мандельштама и выросшую из нее школу А. А. Андронова, ставшую одним из основных центров разработки качественной, в значительной степени топологической теории дифференциальных уравнений. Другим центром разработки качественной теории дифференциальных уравнений в значительной мере топологическими методами является школа В. В. Степанова и В. В. Немыцкого в Московском университете. В работах ленинградских, свердловских и казанских математиков по вопросам

качественной теории дифференциальных уравнений также все возрастающую роль играют топологические методы.

Теория дифференциальных уравнений приводит к изучению векторных полей не только на плоскости, но и в многомерных многообразиях; уже простейшие системы многих дифференциальных уравнений интерпретируются геометрически как поля направлений в многомерных эвклидовых пространствах. Привлечение так называемых первых интегралов уравнения означает выделение среди совокупности всех интегральных кривых тех, которые лежат на некотором многообразии, определяемом данными первыми интегралами. Всякая динамическая система (в классическом смысле этого слова) приводит, вообще говоря, к многомерному многообразию ее возможных состояний (см. § 3) и к системе дифференциальных уравнений, интегральные кривые которой, заполняя данное фазовое пространство, представляют собой возможные движения данной системы. Каждое отдельное из этих движений определяется теми или иными начальными условиями. Следовательно, основным объектом изучения и в этом случае является поле направлений и система траекторий на данном многообразии. Многочисленные приложения, появившиеся особенно в последние годы, делают понятным развитие качественной теории дифференциальных уравнений в ее самом широком аспекте, а следовательно, и развитие топологии как основы этой теории. Именно этой механической и физической, а также астрономической тематике и обязана современная топология своим быстрым ростом, составляющим значительную часть общего развития математики в течение истекшего полустолетия. Читателю, желающему ознакомиться с топологической проблематикой в теории дифференциальных уравнений в ее конкретном физическом и техническом аспекте, можно порекомендовать известную книгу А. А. Андронова и С. Э. Хайкина «Теория колебаний».

В качестве примера конкретной задачи, решенной в теории векторных полей на многомерных многообразиях, рассмотрим вопрос об алгебраическом числе особых точек такого векторного поля.

Пусть нам дано какое-нибудь гладкое многообразие. Для простоты будем представлять себе гладкую замкнутую поверхность. Предположим, что в каждой точке этого многообразия задан касательный к нему вектор, и по длине и по направлению непрерывно зависящий от точки. Особые точки такого векторного поля суть те точки многообразия, в которых отнесенный к ним вектор равен нулю, т. е. не имеет определенного направления. Мы предположим, что каждая из этих точек изолированная. В случае замкнутого многообразия это означает, что имеется лишь конечное число особых точек. (Иначе часть этих точек сгущалась бы около некоторой предельной точки, которая по непрерывности поля также была бы особой точкой, не будучи изолированной.)

Для изолированной особой точки можно определить ее индекс — понятие, в известном смысле аналогичное понятию кратности корня алгебраического

уравнения. Для определения индекса окружаем данную особую точку какой-либо «изолирующей ее» замкнутой линией С (на плоскости — просто окружностью), т. е. такой линией, которая сама не проходит ни через одну особую точку, а внутри содержит лишь одну, рассматриваемую нами, особую точку. Во всех точках кривой С направление поля однозначно определено. Для простоты будем считать, что включающая кривую С окрестность нашей особой точки плоская (в общем случае можно отобразить на плоскость интересующую нас окрестность вместе с заданным на ней полем). При обходе кривой в положительном направлении угол, который направление поля образует с каким-либо фиксированным направлением, возвращается к своему начальному значению, возрастая по дороге на некоторое слагаемое вида где к — какое-то целое, вполне определенное число.

Рис. 21

Рис. 22.

Это число и называется индексом особой точки, а также вращением поля вдоль кривой С. Заметим, что оно не зависит от специального выбора замкнутой линии, изолирующей данную особую точку. На рис. изображены особые точки соответственно с индексами Аналогичным, но более сложным образом определяется индекс и для особой точки поля векторов (направлений), определенного на -мерном многообразии при Оказывается, что имеет место следующая замечательная теорема, доказанная немецким математиком Хопфом в если на данном многообразии определено непрерывное векторное поле, имеющее лишь конечное число особых точек, то сумма индексов, или, как говорят, алгебраическое число этих особых точек, не зависит от поля и всегда равна эйлеровой характеристике многообразия.

Из теоремы Хопфа следует, что векторные поля без особенностей возможны лишь на таких многообразиях, эйлерова характеристика которых равна нулю; на последних же многообразиях, как оказывается, всегда можно построить векторное поле без особенностей. Таким образом, из всех замкнутых поверхностей только на торе и так называемом

одностороннем торе (поверхности Клейна) можно построить векторное поле, не имеющее особенностей.

С теорией векторных полей тесно связана теория непрерывных отображений многообразий в себя и особенно ее результаты, касающиеся существования неподвижных точек при таких отображениях. Точка х называется неподвижной точкой данного отображения если ее образ при этом отображении совпадает с самой точкой, т. е. если

Чтобы пояснить характер этой связи, рассмотрим простейший случай — случай непрерывного отображения круга К в себя. Соединяя каждую точку х круга К с ее образом получим вектор Этот вектор обращается в нуль тогда и только тогда, когда т. е. когда х — неподвижная точка данного отображения. Докажем, что такая точка действительно существует. Для этого предположим противное и определим вращение нашего векторного поля вдоль окружности С круга К.

При непрерывном видоизменении нашего поля его вращение вдоль окружности С, очевидно, может меняться также лишь непрерывно. Являясь при этом целым числом, оно должно оставаться постоянным. Отсюда уже следует, что вращение поля вдоль окружности С равно 1. В самом деле, так как любая точка, принадлежащая кругу К, отображается в этот же круг, то для точки х, лежащей на окружности С, вектор их (согласно нашему предположению отличный от нуля) направлен внутрь круга и потому образует острый угол с радиусом который мы рассматриваем как вектор, направленный к центру О.

Подвергнем непрерывному видоизменению направления всех векторов их для точек х, лежащих на окружности С. Видоизменение это будет заключаться в том, что мы повернем все эти векторы на соответствующие острые углы так, чтобы они оказались направленными в центр О. Как было только что сказано, при этом вращение поля вдоль окружности С не изменится. Но в результате такого преобразования наше исходное поле перейдет на С в поле радиальных векторов, которое, очевидно, имеет вращение 1. Итак, наше первоначальное поле также имело вдоль окружности С вращение 1.

В силу непрерывности исходного векторного поля его вращение вдоль двух окружностей с одним и тем же центром О и мало отличающимися по длине радиусами имеет одно и то же значение Поэтому вращение поля вдоль всех окружностей с центром О, лежащих в круге К, имеет одно и то же значение, а именно 1. Но так как по предположению вектор их определен и отличен от нуля во всех точках круга, в том числе и в его

центре О, вращение поля вдоль окружности достаточно малого радиуса с центром в О непременно равно нулю. Мы пришли к противоречию и доказали, таким образом, что при непрерывном отображении круга в себя, всегда имеется хотя бы одна неподвижная точка. Эта теорема является частным случаем весьма важной теоремы Брауэра, утверждающей, что при всяком непрерывном отображении в себя n-мерного шара имеется хотя бы одна неподвижная точка.

В настоящее время вопрос о существовании неподвижных точек при отображении тех или иных типов детально изучен и составляет существенную часть топологии многообразий.