Арифметические свойства колец.

В числовых кольцах и в полях произведение нескольких элементов может равняться нулю, только если хотя бы один из сомножителей равен нулю. В произвольных кольцах это может оказаться неверным, например произведение двух ненулевых матриц может быть равно нулю. Если в некотором кольце причем а то а и называются делителями нуля. Если таких элементов в кольце нет, то кольцо называется кольцом без делителей нуля.

При исследовании законов делимости в кольцах обычно предполагается, что кольцо коммутативно и не имеет делителей нуля. Такие кольца принято называть областями целостности. Упомянутые выше числовые и полиномиальные кольца являются областями целостности.

Пусть К — некоторая область целостности. Говорят, что элемент а делится в области К на элемент 6, если Отсюда непосредственно следует, что сумма элементов, делящихся на делится на 6 и что произведение нескольких элементов из К заведомо делится на если один из сомножителей делится на При введении понятия простого элемента, аналогичного понятию простого числа, в теории колец возникает усложнение, уже упоминавшееся в главе X (том 2). Именно, сначала приходится ввести понятие ассоциированных элементов кольца, называя элементы ассоциированными, если а делится на b, а b делится на а. Полагая имеем т. е. где — единица области К. Частные ассоциированных элементов называются поэтому делителями единицы. Всякий элемент области делится на любой делитель единицы. В кольце целых рациональных чисел делителями единицы являются в кольце чисел вида где — целые, делителями единицы будут числа

Каждый элемент области целостности К обладает разложениями вида , где — какой-либо делитель единицы. Эти разложения называются тривиальными. Если никаких других разложений у а нет, то а называется простым или неразложимым элементом К. В связи с важным значением теоремы об однозначном разложении целых чисел на простые множители представляет интерес нахождение таких классов колец, в том числе и некоммутативных, в которых остается справедливой аналогичная теорема. Например эта теорема имеет место в кольцах главных идеалов, т. е. областях целостности, в которых все идеалы главные.

В связи с вопросом об однозначности разложения на простые сомножители возникло и само понятие об идеалах. Приблизительно

в середине прошлого века немецкий математик Куммер, пытаясь доказать знаменитое предположение Ферма о том, что уравнение не имеет ненулевых целочисленных решений при пришел к мысли рассматривать числа вида где - решение уравнения — обычные целые числа. Числа указанного вида образуют область целостности, и Куммер сначала принял в качестве очевидного предположение, что в этой области имеет место теорема об однозначности разложения на простые множители. При этом им было построено и доказательство предположения Ферма. Однако при проверке обнаружилось, что упомянутое допущение об однозначности разложения неверно. Желая сохранить однозначность разложения на простые сомножители, Куммер оказался вынужденным рассматривать разложения чисел области на сомножители, не входящие в самую область. Эти числа он назвал идеальными. Впоследствии при построении общей теории вместо идеальных чисел стали вводить совокупности элементов области, делящиеся на то или иное идеальное число, которые и получили название идеалов.

Открытие неоднозначности разложения на простые сомножители в числовых кольцах представляется одним из интереснейших фактов, найденных в прошлом столетии, приведшим к созданию обширной теории алгебраических чисел.

Одно из изящных применений этой теории к вопросу о разложении обычных целых чисел на сумму квадратов указано в конце главы X (том 2). Значительную роль в развитии теории числовых колец сыграли работы отечественных математиков Е. И. Золотарева, Г. Ф. Вороного, И. М. Виноградова и Н. Г. Чеботарева.