Главная > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 3
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 6. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ГРУПП

В XIX в. теория групп развивалась преимущественно как теория групп преобразований. Однако с течением времени становилось все более ясным, что наиболее существенные из полученных результатов зависят лишь от того, что преобразования можно перемножать и что действие обладает рядом характерных свойств. С другой стороны, были найдены объекты, вовсе не являющиеся преобразованиями, но над которыми можно производить некоторое действие (назовем его по-прежнему умножением), обладающее теми же свойствами, что и в группах преобразований, и к которым главные теоремы теории групп преобразований оказались также применимыми. В силу этого к концу прошлого столетия понятие группы стали применять не только к системам преобразований, но и к системам произвольных элементов.

Общее определение группы.

В настоящее время общепринято следующее определение группы: пусть каждой паре рассматриваемых в определенном порядке элементов произвольного множества сопоставлен вполне определенный элемент с того же множества. Тогда говорят, что на множестве задана операция или действие. Обычно для операций вводят особые названия: сложение, умножение, композиция. Элемент множества отвечающий паре называется в таком случае соответственно суммой, произведением, результатом композиции элементов и обозначается соответственно Название «сложение» или «умножение» употребляется и в тех случаях, когда рассматриваемая операция не имеет никакого отношения к обычным действиям сложения и умножения чисел.

Множество вместе с определенной на нем операцией называется группой относительно этой операции, если выполняются следующие групповые аксиомы:

1. Для любых трех элементов из

2. Среди элементов существует элемент для которого при любом из

3. Для каждого элемента а из в существует такой элемент что

Элемент указанный в аксиоме 2, называется нейтральным элементом группы, а элемент существование которого утверждает аксиома 3, называется обратным для а. Если групповая операция называется сложением или умножением, то нейтральный элемент называется соответственно нулевым или единичным, а групповые аксиомы принимают вид

В предшествующих параграфах рассмотрено много примеров групп. Элементами этих групп были преобразования, а групповым действием служило умножение преобразований. Совокупность чисел относительно операции сложения является также группой, так как сумма целых чисел есть снова целое число, сложение целых чисел ассоциативно; нейтральным [элементом является целое число О, и для каждого числа а среди рассматриваемых чисел есть противоположное число —а. Другим примером группы может служить совокупность всех действительных чисел (за исключением пуля) относительно умножения. В самом деле, произведение любых двух, отличных от нуля, действительных чисел есть действительное число, отличное от нуля; действие умножения действительных чисел ассоциативно; нейтральный элемент существует и равен 1; у каждого ненулевого действительного числа а есть обратное число Число аналогичных примеров можно неограниченно увеличить.

Хотя групповая операция может называться различно, мы условимся в дальнейшем почти всегда называть ее умножением. Понятия подгруппы, степеней элемента группы, циклической группы, порядка элемента группы определяются так же, как и для групп преобразований, и мы их повторять не будем (см. § 3). Отметим лишь, что элемент а группы называется сопряженным с элементом если в найдется такой элемент что Так как то каждый элемент группы сопряжен с самим собой. Далее, из очевидно, следует или т. е. если элемент а сопряжен с , то сопряжен с а. Наконец, если то

Следовательно, два элемента, сопряженные с третьим, сопряжены между собой. Эти свойства показывают, что в группе все элементы распадаются на различные классы сопряженных друг с другом элементов. Впрочем, если группа коммутативна, т. е. для любых и у, то сопряженные элементы совпадают и каждый класс сопряженных элементов оказывается состоящим только из одного элемента.

1
Оглавление
email@scask.ru