§ 6. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ГРУПП

В XIX в. теория групп развивалась преимущественно как теория групп преобразований. Однако с течением времени становилось все более ясным, что наиболее существенные из полученных результатов зависят лишь от того, что преобразования можно перемножать и что действие обладает рядом характерных свойств. С другой стороны, были найдены объекты, вовсе не являющиеся преобразованиями, но над которыми можно производить некоторое действие (назовем его по-прежнему умножением), обладающее теми же свойствами, что и в группах преобразований, и к которым главные теоремы теории групп преобразований оказались также применимыми. В силу этого к концу прошлого столетия понятие группы стали применять не только к системам преобразований, но и к системам произвольных элементов.

Общее определение группы.

В настоящее время общепринято следующее определение группы: пусть каждой паре рассматриваемых в определенном порядке элементов произвольного множества сопоставлен вполне определенный элемент с того же множества. Тогда говорят, что на множестве задана операция или действие. Обычно для операций вводят особые названия: сложение, умножение, композиция. Элемент множества отвечающий паре называется в таком случае соответственно суммой, произведением, результатом композиции элементов и обозначается соответственно Название «сложение» или «умножение» употребляется и в тех случаях, когда рассматриваемая операция не имеет никакого отношения к обычным действиям сложения и умножения чисел.

Множество вместе с определенной на нем операцией называется группой относительно этой операции, если выполняются следующие групповые аксиомы:

1. Для любых трех элементов из

2. Среди элементов существует элемент для которого при любом из

3. Для каждого элемента а из в существует такой элемент что

Элемент указанный в аксиоме 2, называется нейтральным элементом группы, а элемент существование которого утверждает аксиома 3, называется обратным для а. Если групповая операция называется сложением или умножением, то нейтральный элемент называется соответственно нулевым или единичным, а групповые аксиомы принимают вид

В предшествующих параграфах рассмотрено много примеров групп. Элементами этих групп были преобразования, а групповым действием служило умножение преобразований. Совокупность чисел относительно операции сложения является также группой, так как сумма целых чисел есть снова целое число, сложение целых чисел ассоциативно; нейтральным [элементом является целое число О, и для каждого числа а среди рассматриваемых чисел есть противоположное число —а. Другим примером группы может служить совокупность всех действительных чисел (за исключением пуля) относительно умножения. В самом деле, произведение любых двух, отличных от нуля, действительных чисел есть действительное число, отличное от нуля; действие умножения действительных чисел ассоциативно; нейтральный элемент существует и равен 1; у каждого ненулевого действительного числа а есть обратное число Число аналогичных примеров можно неограниченно увеличить.

Хотя групповая операция может называться различно, мы условимся в дальнейшем почти всегда называть ее умножением. Понятия подгруппы, степеней элемента группы, циклической группы, порядка элемента группы определяются так же, как и для групп преобразований, и мы их повторять не будем (см. § 3). Отметим лишь, что элемент а группы называется сопряженным с элементом если в найдется такой элемент что Так как то каждый элемент группы сопряжен с самим собой. Далее, из очевидно, следует или т. е. если элемент а сопряжен с , то сопряжен с а. Наконец, если то

Следовательно, два элемента, сопряженные с третьим, сопряжены между собой. Эти свойства показывают, что в группе все элементы распадаются на различные классы сопряженных друг с другом элементов. Впрочем, если группа коммутативна, т. е. для любых и у, то сопряженные элементы совпадают и каждый класс сопряженных элементов оказывается состоящим только из одного элемента.