§ 4. ТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА

В предыдущем параграфе мы уже встречались со множествами, элементами которых являются точки. В частности, мы рассматривали множество всех точек какого-либо отрезка, множество всех точек квадрата Теперь мы займемся более подробно изучением свойств таких множеств.

Множества, элементами которых являются точки, называются точечными множествами. Таким образом, можно говорить о точечных множествах на прямой, на плоскости, в каком-либо пространстве. Ради простоты мы ограничимся рассмотрением точечных множеств на прямой.

Между действительными числами и точками на прямой имеется тесная связь: каждому действительному числу можно отнести точку на прямой и обратно. Поэтому, говоря о точечных множествах, мы будем причислять к ним и множества, состоящие из действительных чисел — множества на числовой прямой. Обратно: для того чтобы задать точечное множество на прямой, мы будем обычно задавать координаты всех точек нашего множества.

Точечные множества (и, в частности, точечные множества на прямой) обладают рядом особых свойств, отличающих их от произвольных множеств и выделяющих теорию точечных множеств в самостоятельную математическую дисциплину. Прежде всего имеет смысл говорить о расстоянии между двумя точками. Далее, между точками на прямой можно установить соотношения порядка (левее, правее); в соответствии

с этим говорят, что точечное множество на прямой является упорядоченным множеством. Наконец, как уже отмечалось выше, для прямой справедлив принцин Кантора; это свойство прямой принято характеризовать как полноту прямой.

Введем обозначения для простейших множеств на прямой

Отрезок — множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам

Интервал — множество точек, координаты которых удовлетворяют условиям

Полуинтервалы определяются соответственно условиями:

Интервалы и полуинтервалы могут быть несобственными. Именно, обозначает всю прямую, а, например, — множество всех точек, для которых

Начнем с рассмотрения различных возможностей расположения множества в целом на прямой.

Ограниченные и неограниченные множества.

Множество Е точек, на прямой может либо состоять из точек, расстояния которых от начала координат не превосходят некоторого положительного числа, либо иметь точки, сколь угодно далекие от начала координат. В первом случае множество Е называется ограниченным, а во втором — неограниченным. Примером ограниченного множества может служить множество всех точек отрезка а примером неограниченного множества — множество всех точек с целыми координатами.

Нетрудно видеть, что если а — фиксированная точка на прямой, то множество Е будет ограничено в том и только в том случае, если расстояния от точки а до любой точки не превосходят некоторого положительного числа.