Гиперкомплексные числа.

Многообразное и успешное применение комплексных чисел побудило математиков уже в первые десятилетия XIX в. задуматься над вопросом, нельзя ли подобно тому, как комплексные числа строятся в виде пар действительных чисел, построить высшие комплексные числа, изображающиеся тройками, четверками и т. д. действительных чисел. Начиная с середины прошлого века было исследовано много различных частных систем таких высших комплексных или гиперкомплексных чисел, а в конце прошлого и первой половине текущего столетия была разработана общая теория гиперкомплексных чисел, нашедшая ряд важных приложений в смежных областях математики и физики.

Итак, назовем гиперкомплексным числом ранга а число, изображающееся совокупностью действительных чисел торые пока условно будем называть координатами этого гиперкомплексного числа. Гиперкомплексные числа будем называть равными, если равны их соответствующие координаты, т. е. если Действие сложения определим естественной формулой

аналогичной формуле сложения для комплексных чисел.

Так же естественно вводится операция умножения гиперкомплексного числа на действительное: по определению считается, что

Сверх того, должно быть определено действие умножения двух гиперкомплексных чисел друг на друга, причем результат этого действия должен являться гиперкомплексным числом.

Распространить на общий случай определение умножения обыкновенных комплексных чисел трудно. Оно может быть осуществлено различными путями, и при этом будут получаться различные системы гиперкомплексных чисел. Поэтому прежде всего следует уяснить, что должно быть достигнуто таким определением. Несомненно желательно, чтобы определяемые нами действия над гиперкомплексными числами были похожи по своим свойствам на обычные действия с действительными числами. Каковы же свойства этих обычных действий?

Рассматривая внимательно свойства чисел и операций над ними, наиболее часто используемые в алгебре, легко заметить, что они сводятся к следующим.

1. Для любых двух чисел однозначно определена их сумма.

2. Для любых двух чисел однозначно определено их произведение.

3. Существует число нуль со свойством; для любого а.

4. Для каждого числа а существует противоположное число х, удовлетворяющее равенству

5. Сложение переместительно (коммутативно)

6. Сложение обладает сочетательным (ассоциативным) свойством

7. Умножение переместительно

8. Умножение сочетательно

9. Умножение распределительно (дистрибутивно)

10. Для каждого а и каждого существует единственное число х, удовлетворяющее равенству

Свойства 1—10 были выделены в результате тщательного анализа; развитие математики в последнее)! столетие показало их большую важность. В настоящее время всякая система величин, удовлетворяющая условиям 1—10, называется полем. Например, полями являются: совокупность всех рациональных чисел, совокупность всех действительных чисел, совокупность всех комплексных чисел, так как числа каждой из этих совокупностей можно складывать, перемножать, получая числа из той же совокупности, и эти действия обладают свойствами 1—10. Кроме этих трех наиболее важных полей, можно указать бесчисленное множество других полей, образованных числами. Однако наряду с полями, образованными числами, большой интерес представляют

и поля, образованные величинами иной природы. Например, еще-в средней школе нас обучают действиям с так называемыми алгебраическими дробями, т. е. дробями, у которых числитель и знаменатель являются многочленами относительно некоторых букв. Алгебраические дроби можно складывать, вычитать, перемножать, делить, и эти действия обладают свойствами 1—10. Следовательно, алгебраические дроби; образуют [систему объектов, являющуюся полем. Можно привести много других примеров полей, составленных величинами все более к более сложной природы. Ввиду важности свойств 1—10, определяющих поле, первоначально была поставлена задача найти такое действие умножения гиперкомплексных] чисел, чтобы гиперкомплексные числа образовали поле. В случае успеха тем самым были бы получены новые, более общие комплексные числа. Однако уже в самом начале прошлого века обнаружили, что это возможно лишь для гиперкомплексных чисел ранга 2, причем получаются только обыкновенные комплексные числа Этот результат показал, что комплексные числа занимают совершенно особое место и что получить расширение числовой системы за пределы комплексных чисел нельзя, если непременно требовать, чтобы выполнялись все свойства 1—10. Поэтому при дальнейших попытках построения высших числовых систем необходимо] было отказаться от одного или нескольких свойств 1—10.