Подгруппы.

Часть группы, сама являющаяся группой, называется подгруппой данной группы. Так, знакопеременная группа подстановок

переменных является подгруппой симметрической группы подстановок этих переменных. Совокупность собственных движений плоскости есть группа, являющаяся подгруппой группы всех собственных и несобственных движений плоскости.

С формальной точки зрения единичное (тождественное) преобразование само по себе уже образует подгруппу. Точно так же и любая группу может быть рассматриваема своя подгруппа. Однако, кроме этих тривиальных подгрупп, почти всегда группы содержат много других подгрупп. Знание всех подгрупп данной группы дает довольно полное представление о внутреннем строении заданной группы.

Одним из распространенных способов образования подгрупп является указание так называемых образующих подгрупп.

Пусть — какие-либо преобразования, принадлежащие группе Совокупность Н всех преобразований, которые можно получить, перемножая между собой в произвольном числе заданные преобразования и преобразования, им обратные, будет группой. Действительно, единичное преобразование принадлежит к этой совокупности, так как его можно представить в виде Далее, если преобразования В и С можно представить в виде произведений, то, перемножая эти произведения, мы получим требуемое представление и для Наконец, если В выражается в виде произведения, например, то и можно представить в виде требуемого произведения, так как

Группа Н является, очевидно, подгруппой группы и называется подгруппой, порожденной преобразованиями а сами преобразования называются образующими подгруппы Н. Может случиться, что Н совпадает с тогда называются образующими самой группы Нетрудно убедиться на примерах, что одна и та же подгруппа может порождаться самыми различными системами образующих.

Подгруппа, порождаемая одним преобразованием А, называется циклической подгруппой. Ее элементами являются преобразования

которые, естественно, называются степенями преобразования А. Именно:

Легко доказывается, как в обычной арифметике, что

Преобразование называется периодическим, если некоторая его положительная степень равна тождественному преобразованию. Наименьший положительный показатель степени, в которую нужно возвести периодическое преобразование, чтобы получить тождественное, называется

вается порядком преобразования. Условно говорят, что порядок непериодического преобразования бесконечен.

Рассмотрим несколько примеров. Пусть А — поворот плоскости вокруг точки О на где — данное положительное целое число, большее единицы. Тогда будет поворотом на угол поворотом на поворотом на — поворотом на , т. е. будет тождественным преобразованием. Это показывает, что поворот на есть периодическое преобразование порядка

Пусть А — перенос плоскости вдоль некоторой прямой. Тогда будут также переносами вдоль той же прямой соответственно на двойное, тройное и т. д. расстояния. Поэтому никакая положительная степень А не есть тождественное преобразование, и порядок А бесконечен.

Элементами циклической группы, порожденной элементом А, являются

Если А — преобразование бесконечного порядка, то все преобразования в последовательности (5) различны, и группа бесконечна. Действительно, в противном случае мы имели бы равенство вида откуда что противоречит непериодичности А.

Предположим теперь, что А — периодическое преобразование порядка т. Тогда

т. е. последовательность (5) состоит из одних и тех же периодически повторяющихся преобразований Они между собою различны, так как, если бы оказалось то было бы что противоречит выбору . Следовательно, циклическая подгруппа, порожденная преобразованием порядка содержит ровное различных преобразований.

Группа, все элементы которой коммутируют друг с другом, называется коммутативной или абелевой, по имени норвежского математика Абеля, открывшего важное значение таких групп для теории уравнений.

Формулы (4) показывают, что степени одного и того же преобразования всегда коммутируют друг с другом: Поэтому циклические подгруппы всегда абелевы.

В арифметике чисел наряду с умножением важную роль играет действие деления. В теории групп, вследствие некоммутативности умножения,

приходится говорить о двух делениях: правом и левом. В самом деле, решение уравнения где А, В — данные преобразования, искомое преобразование, естественно назвать правым частным, а решение уравнения левым частным от деления В на А. Умножая обе части первого равенства на слева, а обе части второго на справа, получим: Таким образом, в качестве «частного» преобразований В и А можно рассматривать или

На многочисленных примерах мы видели, что в группах, вообще говоря, «Частное» или можно принять за «меру» некоммутируемости подстановок А и В. Второе из этих выражений, именно называют коммутатором А и В и обозначают . Из формулы

следует, что коммутатор можно представлять себе и как частное от «деления» сопряженного преобразования на первоначальное А.

Рис. 12.

Если, например, А — перенос плоскости, то сопряженное преобразование будет также переносом, а частное двух переносов, очевидно, есть перенос. Поэтому коммутатор переноса и любого движения плоскости есть перенос. Пусть А—поворот на угол вокруг некоторой точки поворот или перенос. Тогда сопряженное преобразование будет снова поворотом на угол , но вокруг смещенной точки Следовательно, коммутатор в рассматриваемом случае есть произведение поворота вокруг точки О на отрицательный угол и поворота вокруг точки О на положительный угол . Из рис. 12 видно, что результирующее преобразование есть перенос под углом отрезку на расстояние

Таким образом, мы приходим к интересному факту, что для плоскости коммутатор любых двух движений рода есть параллельный перенос или тождественное преобразование. Поскольку означает, что то на плоскости любая некоммутативная группа движений рода содержит параллельные переносы.

Подгруппа, порожденная коммутаторами всевозможных элементов группы называется коммутантом группы Вспоминая соответствующие определения, можно сказать, что коммутант группы состоит из тех и только тех ее элементов, которые можно представить в виде

произведения коммутаторов. Поскольку для плоскости коммутатор любых двух движений рода есть параллельный перенос, а произведения параллельных переносов суть также параллельные переносы, можно утверждать, что коммутант группы движений плоскости рода состоит лишь из параллельных переносов.

Коммутант абелевой группы состоит из единичного преобразования, так как из следует

Пусть симметрическая труппа всех подстановок чисел Покажем, что коммутатор любых двух подстановок А, В всегда будет подстановкой четной. В самом деле, подстановки , а следовательно и всегда имеют одинаковую четность; тогда коммутатор как произведение подстановок одинаковой четности, есть подстановка четная.

Мы видим, что коммутант симметрической группы состоит лишь из четных подстановок. Легко можно доказать, что он совпадает со всей знакопеременной группой.

Коммутант группы называется также производной группой и обозначается через коммутант коммутанта называется вторым коммутантом группы и обозначается через Повторяя этот процесс, мы получим определение коммутанта любого порядка группы

Если из коммутантов группы хотя бы один (а тогда и все последующие) состоит лишь из единичного преобразования, то группа называется разрешимой. Название это возникло в теории уравнений, где разрешимости группы соответствует разрешимость уравнения в радикалах. Группа движений рода для плоскости разрешима, так как уже ее 2-й коммутант равен едипице. Симметрические группы 2, 3 и 4-й степени также разрешимы, поскольку их соответственно 1, 2 и 3-й коммутанты обращаются в единицу. Напротив, симметрические группы 5-й и более высоких степеней неразрешимы, так как можно доказать, что их 2-й коммутант совпадает с и отличен от единицы.