§ 1. n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

В дальнейшем мы будем пользоваться основными понятиями, относящимися к -мерному пространству. Хотя в главах о линейной алгебре и абстрактных пространствах эти понятия и вводились, мы считаем нелишним повторить их здесь коротко в том виде, в котором они далее встретятся. При. чтении этого параграфа читателю достаточно знания основ аналитической геометрии.

Мы знаем, что точка в аналитической геометрии трехмерного пространства задается тройкой чисел — координат точки. Расстояние этой точки до начала координат равно Если считать точку концом вектора, ведущего в эту точку из начала координат, то длина вектора также равна Косинус угла между ненулевыми векторами, ведущими из начала координат в две различные точки определяется формулой

Из тригонометрии мы знаем, что Поэтому имеет место реравенство

и, значит, всегда

Это последнее неравенство носит алгебраический характер и справедливо для любых шести чисел так как любые тесть чисел могут служить координатами двух точек пространства.

В то же время неравенство (1) получено из чисто геометрических соображений и тесно связано с геометрией, что позволяет сделать его наглядным.

При аналитической формулировке ряда геометрических соотношений часто оказывается, что соответствующие факты остаются справедливыми при замене тройки чисел на чисел. Например, выведенное нами неравенство (1) может быть обобщено на чисел Это значит, что для любых чисел справедливо неравенство, аналогичное (1), а именно:

Это неравенство, частным случаем которого является неравенство (1), может быть доказано чисто аналитически. Подобным образом обобщаются на чисел многие другие соотношения между тройками чисел, полученные из аналитической геометрии. Такая связь соотношений между числами (количественных соотношений), примером которых является указанное выше неравенство, с геометрией становится особенно выпуклой, когда вводится понятие -мерного пространства. Это понятие было введено в главе XVI. Мы здесь вкратце его повторим.

Совокупность чисел называют точкой или вектором -мерного пространства (мы чаще будем употреблять последнее название). Вектор будем в дальнейшем коротко обозначать одной буквой

Подобно тому, как в трехмерном пространстве при сложении векторов складываются их компоненты, сумма векторов определяется как вектор и обозначается

Произведение вектора на число X есть вектор

Длина вектора аналогично длине вектора в трехмерном пространстве, определяется как

Угол между двумя векторами в -мерном пространстве задается своим косинусом, также совершенно аналогично тому, как определяется угол между векторами в трехмерном пространстве. Именно, он определяется формулой

Скалярным произведением двух векторов называется произведение длин этих векторов на косинус угла между ними. Таким образом, если

то, так как длины векторов равны соответственно их скалярное произведение, которое обозначается через - задается формулой

В частности, условием ортогональности (перпендикулярности) двух векторов является равенство

При помощи формулы (3) читатель может убедиться, что скалярное произведение в -мерном пространстве обладает следующими свойствами:

Рис. 1.

Рис. 2.

причем знак равенства имеет место, только при , т. е. когда

Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату длины вектора

Скалярное произведение оказывается очень удобным средством при изучении -мерных пространств. Мы не будем здесь изучать геометрию -мерного пространства, а ограничимся лишь одним примером.

В качестве такого примера рассмотрим в -мерном пространстве теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Для этого выберем такое доказательство этой теоремы на плоскости, которое легко переносится на случай -мерного пространства.

Пусть — два перпендикулярных вектора на плоскости. Рассмотрим прямоугольный треугольник, построенный на векторах (рис. 1). Гипотенуза этого треугольника равна по длине вектору Запишем векторно теорему Пифагора в наших обозначениях. Так как квадрат длины вектора равен скалярному произведению вектора на себя, то в терминах скалярных произведений теорема Пифагора запишется так:

Доказательство непосредственно следует из свойств скалярного произведения. Действительно,

а два средних слагаемых равны нулю в силу ортогональности векторов

В приведенном выше доказательстве мы пользовались лишь определением длины вектора, перпендикулярности векторов и свойствами скалярного произведения. Поэтому в доказательстве ничего не изменится, если мы предположим, что — два ортогональных вектора -мерного пространства. Тем самым теорема Пифагора доказана для прямоугольного треугольника в -мерном пространстве.

Если задано три попарно ортогональных вектора в -мерном пространстве то сумма этих векторов является диагональю прямоугольного параллелепипеда, построенного на этих векторах (рис. 2), и имеет место равенство

которое означает, что квадрат длины диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов длин его ребер. Доказательство этого утверждения, вполне аналогичное приведенному выше доказательству теоремы Пифагора, мы предоставляем читателю. Точно так же, если в -мерном пространстве имеется к попарно ортогональных векторов то столь же просто доказываемое равенство

означает, что квадрат длины диагонали -мерного параллелепипеда» в -мерном пространстве также равен сумме квадратов длин его ребер.