§ 5. ГРУППЫ ГАЛУА

Результаты, изложенные на предыдущих страницах, дают некоторое представление о роли, которую сыграла теория групп в решении задачи о классификации кристаллических форм. Однако не эта задача послужила причиной возникновения теории групп. Приблизительно на сто лет раньше Лагранщем была замечена связь между свойствами симметрии корней алгебраического уравнения и возможностью решения уравнения в радикалах. В трудах знаменитых математиков первой трети прошлого века Абеля и Галуа эта связь была глубоко исследована, что привело их к решению знаменитой проблемы об условиях разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Это решение целиком опиралось на тонкие рассмотрения свойств групп подстановок и явилось фактически Началом существования теории групп.

Изучение связей между свойствами алгебраических уравнений и свойствами групп составляет ныне предмет обширной теории, известной под именем теории Галуа.

Понятие об истории вопроса и о значении теории Галуа изложено в главе IV (том 1). Поскольку, однако, теория Галуа сыграла решающую роль в развитии теории групп мы здесь снова приведем основные факты этой теории, но уже в виде, наиболее удобном для освещения самой теории групп. Доказательства этих фактов требуют многочисленных вспомогательных понятий и будут нами опущены.

Группа алгебраического уравнения.

Пусть дано уравнение степени

коэффициенты которого считаются данными величинами, например, некоторыми комплексными числами. Совокупность величин, которые можно получить изкоэффициентов уравнения при помощи конечного числа действий сложения, вычитания, умножения и деления, называется основным полем или областью рациональности уравнения.

Например, если уравнение имеет рациональные коэффициенты, то область рациональности будет состоять из всех рациональных чисел; если же уравнение имеет вид , то область рациональности состоит из всех чисел вида , где — рациональные числа.

Обозначим теперь через корни данного уравнения. Совокупность величин, которые можно получить при помощи конечного числа действий сложения, вычитания, умножения и деления, исходя из корней называется полем разложения уравнения. Так, например, поле разложения уравнения есть совокупность комплексных чисел с рациональными а поле разложения упомянутого выше уравнения есть совокупность чисел вида с где — рациональные числа.

В силу формул Виета коэффициенты уравнения получаются из его корней при помощи операций сложения и умножения, поэтому поле разложения уравнения всегда содержит его основное поле. Иногда эти поля совпадают.

Взаимно однозначное отображение А поля разложения на себя называется автоморфизмом поля разложения относительно основного поля, если для каждой пары элементов поля разложения их сумма переходит в сумму, произведение — в произведение, а каждый элемент основного поля переходит сам в себя. Указанные свойства можно записать формулами

где — тот элемент, в который переходит элемент а при отображении - основное поле; К — поле разложения.

Согласно упоминавшемуся на стр. общему принципу совокупность всех автоморфизмов поля разложения относительно основного поля является группой. Эта группа и называется группой Галуа данного уравнения.

Чтобы составить себе несколько более конкретное представление о группе Галуа, заметим прежде всего, что автоморфизмы из группы Галуа переводят корни данного уравнения снова в корни этого же уравнения. Действительно, если корень уравнения (6), то, действуя на обе части этого уравнения автоморфизмом А и пользуясь свойствами (7), получим

так как то отсюда имеем

что и требовалось. Следовательно, каждый автоморфизм А вызывает определенную подстановку множества корней уравнения. С другой стороны, зная эту подстановку, мы знаем и сам автоморфизм, поскольку все элементы полз разложения получаются из корней только при помощи арифметических операций. Это показывает, что вместо группы автоморфизмов можно рассматривать соответствующую ей группу подстановок корней уравнения. Отсюда следует, в частности, что все группы Галуа конечные.

Найти группу Галуа какого-либо уравнения — задача обычно сложная и лишь в отдельных случаях группа Галуа находится сравнительно просто. Рассмотрим, например, уравнение (6) с буквенными коэффициентами Основное поле этого уравнения составляют рациональные дроби от коэффициентов, т. е. дроби, числители и знаменатели которых являются многочленами от Поле разложения составляют рациональные дроби от корней уравнения

связанных с коэффициентами, формулами

Поскольку уравнение (6) «общее», мы можем считать его корни независимыми переменными. Тогда всякая подстановка этих «корней будет вызывать автоморфизм поля разложения. Формулы (8) показывают, что при любом таком автоморфизме коэффициенты переходят сами в себя, а вместе с ними сами в себя переходят и все рациональные дроби от них. Таким образом, группа Галуа общего уравнения степени по существу является симметрической группой всех подстановок букв.

Можно указать также уравнения с численными коэффициентами, имеющие симметрическую группу своей группой Галуа. Доказано, например, что группа Галуа уравнения

при любом есть симметрическая группа подстановок степени .

Вообще известны способы построения уравнений с любой наперед заданной группой в качестве группы Галуа, но при условии, что коэффициенты можно брать произвольными. Если же требовать построения уравнений, имеющих непременно рациональные коэффициенты, то такое построение в настоящее время известно лишь для отдельных типов групп. Значительного успеха в этом направлении добился советский математик И. Р. Шафаревич, нашедший способы построения уравнений с рациональными коэффициентами, имеющими своей группой Галуа любую наперед заданную разрешимую группу. В общем же случае эта задача остается пока нерешенной.