Аксиоматическое определение n-мерного эвклидова пространства.

В предыдущем пункте мы ввели понятие длины вектора, угла и скалярного произведения в пространстве строк. В общем аксиоматически определенном -мерном действительном линейном пространстве эти понятия определяются тоже аксиоматически, причем в основу кладется понятие скалярного произведения.

Скалярным умножением векторов линейного действительного пространства называется сопоставление каждой паре векторов X и Y действительного числа, называемого их скалярным произведением , причем это сопоставление должно удовлетворять следующим требованиям (аксиомам):

Далее, за длину вектора принимается число , за косинус угла между векторами X и Y — число, равное Для законности этого последнего определения необходимо установить справедливость неравенства Коши—Буняковского . Но делается совершенно так же, как было сделано в предыдущем пункте. В проведенном доказательстве как раз и были использованы только свойства 1, 2, 3 и 4 скалярного произведения, специфика пространства строк в этом доказательстве не играла никакой роли. Действительное линейное пространство, в котором введено скалярное умножение, удовлетворяющее аксиомам 1—4, называется эвклидовым пространством.

В различных конкретных линейных пространствах, изучаемых в математике, скалярное произведение вводится различными способами, выбор которых обусловливается существом вопроса. Например, в пространствах, элементами которых служат функции от одной переменной определенные на заданном промежутке за скалярное произведение двух элементов часто принимается число или число где — некоторая положительная функция. Легко видеть, что при каждом из этих определений все аксиомы выполняются.