§ 2. МНОЖЕСТВА

Людям постоянно приходится иметь дело с различными совокупностями предметов. Как уже разъяснялось в главе I (том 1), это повлекло за собой возникновение понятия числа, а затем и понятия

множества, которое является одним из основных простейших математических понятий и не поддается точному определению. Нижеследующие замечания имеют своей целью пояснить, что такое множество» но не претендуют на то, чтобы служить его определением.

Множеством называется собрание, совокупность, коллекция вещей, объединенных по какому-либо признаку или по какому-либо правилу. Понятие множества возникает путем абстракции. Рассматривая какую-либо совокупность предметов как множество, отвлекаются от всех связей и соотношений между различными предметами, составляющими множества, но сохраняют за предметами их индивидуальные черты. Таким образом, множество, состоящее из пяти монет, и множество, состоящее из пяти яблок, — это разные множества. С другой стороны, множество из пяти монет, расположенных по кругу, и множество из тех же монет, положенных одна на другую, - это одно и то же множество.

Приведем несколько примеров множеств. Можно говорить о множестве песчипок, составляющих кучу песка, о множестве всех планет нашей солнечной системы, о множестве всех людей, находящихся в данный момент в каком-либо доме, о множестве всех страниц этой книги. В математике тоже постоянно встречаются различные множества, например множество всех корней заданного уравнения, множество всех натуральных чисел, множество всех точек на прямой и т. д.

Математическая дисциплина, изучающая общие свойства множеств, т. е. свойства множеств, не зависящие от природы составляющих их предметов, называется теорией множеств. Эта дисциплина начала бурно развиваться в конце XIX и начале XX в. Основатель научной теории множеств — немецкий математик Г. Кантор.

Работы Кантора по теории множеств выросли из рассмотрения вопросов сходимости тригонометрических рядов. Это весьма обычное явление: очень часто рассмотрение конкретных математических задач ведет к построению весьма абстрактных и общих теорий. Значение таких абстрактных построений определяется тем, что они оказываются связанными не только с той конкретной задачей, из которой они выросли, но имеют приложения и в ряде других вопросов. В частности, именно так обстоит дело и с теорией множеств. Идеи и понятия теории множеств проникли буквально во все разделы математики и существенно изменили ее лицо. Поэтому нельзя получить правильного представления о современной математике, не познакомившись с элементами теории множеств. Особенно большое значение имеет теория множеств для теории функций действительного переменного.

Множество считается заданным, если относительно любого предмета можно сказать, принадлежит он множеству или не принадле жит. Иными словами, множество вполне определяется заданием всех

принадлежащих ему предметов. Если множество М состоит из предметов и только из этих предметов, то пишут

Предметы, составляющие какое-либо множество, принято называть его элементами. Тот факт, что предмет является элементом множества М, записывается в виде

и читается: принадлежит или есть элемент М». Если же предмет не принадлежит множеству М, то пишут: Каждый предмет может служить лишь одним элементом заданного множества; иными словами, все элементы родного и того же множества отличны друг от друга.

Элементы множества М могут сами быть множествами, однако, во избежание противоречий, приходится требовать, чтобы само множество М не было одним из своих собственных элементов: .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством. Например, множество всех действительных корней уравнения

есть пустое множество. Пустое множество в дальнейшем будем обозначать через .

Если для двух множеств М и каждый элемент х множества М является также элементом множества то говорят, что М входит в что М есть часть что М есть подмножество или что М содержится в это записывается в виде

Например, множество есть часть множества

Ясно, что всегда Удобно считать, что пустое множество есть часть любого множества.

Два множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Например, множество корней уравнения и множество между собою равны.

Определим правила действий над множествами.