Главная > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 3
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Ортогональное преобразование квадратичных форм к каноническому виду.

Среди всевозможных способов приведения квадратичной формы к каноническому виду особый интерес представляют ортогональные преобразования, т. е. осуществляющиеся посредством линейного преобразования переменных с ортогональной матрицей. Именно такие преобразования представляют интерес, например, в аналитической геометрии — в задаче о приведении общего уравнения кривой или поверхности порядка к каноническому виду.

Для того, чтобы убедиться в возможности такого преобразования, целесообразно рассматривать квадратичную форму как функцию от вектора в эвклидовом пространстве, рассматривая переменные

как координаты переменного вектора относительно некоторого ортонормального базиса. Тогда ортогональное преобразование переменных интерпретируется как переход от одного ортонормального базиса к другому.

Свяжем с квадратичной формой

линейное преобразование А, имеющее но отношению к выбранному базису матрицу . Тогда сама квадратичная форма может рассматриваться как скалярное произведение (где X — вектор с координатами ), а ее коэффициенты — как скалярные произведения где — выбранный ортонормальный базис.

Легко видеть, что вследствие симметрии матрицы А для любых векторов X и имеет место равенство

Докажем прежде всего, что преобразование А имеет по крайней мере одно действительное собственное число и соответствующий ему собственный вектор.

Для этого рассмотрим значения формы в предположении, что вектор X пробегает единичную сферу, т. е. совокупность всех единичных векторов. При этих условиях форма будет иметь максимум. Покажем, что этот максимум есть собственное число преобразования А, а вектор для которого этот максимум достигается, есть соответствующий собственный вектор, т. е.

Доказательство этого утверждения проведем косвенными средствами, установив, что вектор ортогонален ко всем векторам, ортогональным

Заметим, что для любого вектора справедливо неравенство . Это очевидно из того, что есть единичный вектор, — максимум значения формы на единичной сфере. Рассмотрим , где — некоторое действительное число, — произвольный вектор, ортогональный к вектору Тогда

Кроме того,

ибо

Следовательно,

откуда, поделив на получим

Последнее неравенство должно выполняться при любом действительном сколь угодно малом по абсолютной величине.

Но оно может выполняться только при условии так как если то неравенство (14) невозможно при достаточно малом положительном если же то оно невозможно при достаточно малом по абсолютной величине отрицательном е. Итак, действительно ортогонален ко всякому вектору, ортогональному к Следовательно, коллинеарны, т. е. , где X — некоторое действительное число. То, что легко проверить, именно

Теперь легко доказать, что каждая квадратичная форма действительно может быть приведена к каноническому виду посредством ортогонального преобразования.

Пусть — исходный ортонормальный базис пространства, — новый ортонормальный базис, в котором первый вектор равен собственному вектору преобразования А. Пусть координаты вектора X в исходном базисе, а

— его же координаты в новом базисе. Тогда

где Р — ортогональная матрица.

Сделаем в квадратичной форме переход к новым переменным. В новых переменных квадратичная форма будет иметь коэффициенты Следовательно,

т. е. форма имеет вид

Итак, за счет ортогонального преобразования нам удалось выделить один квадрат новой переменной.

Проведя те же рассуждения с новой формой и т. д., мы придем в конце концов к тому, что форма посредством цепочки ортогональных преобразований окажется приведенной к каноническому виду. Но очевидно, что цепочка ортогональных преобразований равносильна одному ортогональному же преобразованию. Тем самым теорема доказана.

1
Оглавление
email@scask.ru