§ 2. СИММЕТРИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Простейшие виды симметрии.

Начнем с напоминания простейших видов симметрии, знакомых читателю из повседневной жизни. Одним из таких видов симметрии является зеркальная симметрия геометрических тел или симметрия относительно плоскости.

Точка А пространства называется симметричной точке В относительно плоскости (рис. 1), если плоскость пересекает отрезок в его середине перпендикулярно этому отрезку. Говорят также, что точка В является зеркальным образом точки А относительно плоскости Геометрическое тело называется симметричным относительно плоскости, если эта плоскость разбивает тело на две части, из которых каждая является зеркальным отражением другой относительно данной плоскости. Сама плоскость называется в этом случае плоскостью симметрии тела. Зеркальная симметрия очень распространена в природе. Например, форма человеческого тела, форма тела зверей, птиц имеет обычно плоскость симметрии.

Симметрия относительно прямой определяется аналогичным образом. Говорят, что точки А, В лежат симметрично относительно прямой, если эта прямая пересекает отрезок в его средней точке и перпендикулярна (рис. 2).

Рис. 1.

Рис. 2.

Геометрическое тело называется симметричным относительно прямой или имеющим эту прямую своей осью симметрии 2-го порядка, если для каждой точки тела симметричная точка также принадлежит телу.

Рис. 3.

Тело, имеющее ось симметрии 2-го порядка, совмещается с собой при повороте тела вокруг этой оси на половину полного поворота, т. е. на угол в 180°.

Понятие оси симметрии естественным образом обобщается. Прямая называется осью симметрии порядка для данного тела, если это тело совмещается с собой при повороте вокруг оси на угол 360°. Так, правильная пирамида, основанием которой является правильный -угольник, имеет осью симметрии порядка прямую, соединяющую вершину пирамиды с центром основания (рис. 3).

Прямая называется осью вращения тела, если тело совмещается с собой при повороте вокруг оси на любой угол. Так, оси цилиндра и конуса, любой диаметр шара суть их оси вращения. Ось вращения является вместе с тем осью симметрии любого порядка.

Наконец, важным типом симметрии является также симметрия относительно точки или центральная симметрия. Точки А и В называются симметричными относительно центра О, если отрезок, соединяющий точки А и В, делится точкой О пополам. Тело называется симметричным относительно центра О, если все его точки распадаются на пары точек, симметричных относительно О. Примерами центрально-симметричных

симметричных тел могут служить шар и куб, центры которых являются их центрами симметрии (рис. 4).

Знание всех плоскостей, осей и центров симметрии тела дает довольно полное представление о свойствах его симметрии.

Однако понятие симметрии имеет смысл не только в применении к геометрическим фигурам. Например, имеет совершенно ясный смысл утверждение, что в многочлене переменные входят симметрично, а в многочлене входят симметрично переменные в то время как, например, переменные играют различную роль. Число таких примеров можно легко увеличить. Это заставляет поставить важный вопрос: что же такое симметрия в общем случае и как можно математически учитывать отношения симметрии? Оказывается, точный ответ на этот вопрос связан с понятием преобразования, которое уже много раз встречалось в этой книге, начиная с самых первых ее глав. Чтобы иметь возможность дать общее определение симметрии, охватывающее такие разнородные случаи, как симметрия пространственных тел и симметрия многочленов, необходимо и понятие преобразования сформулировать в очень общем виде.

Рис. 4.