Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 3

Математика, ее содержание, методы и значение. Под ред. Александрова А.Д., Колмогорова А.Н., Лаврентьева М.А. М.: Изд. Академии наук СССР, 1956; т.3 - 336 с.

Возникшая еще в древности из практических потребностей, математика выросла в громадную систему разветвленных дисциплин. Как и другие науки, она отражает законы материальной действительности и служит могучим орудием познания и покорения природы. Но свойственный математике высокий уровень абстракции делает новые ее разделы сравнительно мало доступными для неспециалиста. Тот же отвлеченный характер математики порождал еще в древности идеалистические представления о ее независимости от материальной действительности.

Коллектив авторов при составления этой книги исходил из намерения ознакомить достаточно широкие круги советской интеллигенции с содержанием и методами отдельных математических дисциплин, их материальными основами и путями развития.

Глава XV. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 2. МНОЖЕСТВА
Объединение или сумма.
Пересечение.
Конечные и бесконечные множества.
Взаимно однозначное соответствие.
Счетные множества.
Множества мощности континуума.
§ 3. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Об измерении величин.
Действительные числа.
Принципы непрерывности.
§ 4. ТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА
Множества, ограниченные сверху и снизу.
Верхняя и нижняя грань множества.
Расположение точечного множества вблизи какой-либо точки на прямой.
Теорема Больцано—Вейерштрасса.
Замкнутые и открытые множества.
§ 5. МЕРА МНОЖЕСТВ
Общее определение меры.
Измеримые функции.
§ 6. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Одно вспомогательное предложение.
Свойства интеграла Лебега.
Глава XVI. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
§ 1. ПРЕДМЕТ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ЕЕ АППАРАТ
Геометрические аналогии в линейной алгебре.
§ 2. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Линейная зависимость и независимость векторов.
Базис и размерность пространства.
Подпространства.
Комплексное линейное пространство.
n-мерное эвклидово пространство.
Аксиоматическое определение n-мерного эвклидова пространства.
Ортогональность. Ортонормальный базис.
§ 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Определитель n-го порядка.
Системы n линейных уравнений с n неизвестными.
Матричная запись системы n уравнений с n неизвестными.
Общий случай систем линейных уравнений.
Однородные системы.
§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Преобразование координат.
Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования.
§ 5. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
Преобразование квадратичной формы к каноническому виду посредством последовательного выделения квадратов.
Закон инерции квадратичных форм.
Ортогональное преобразование квадратичных форм к каноническому виду.
§ 6. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение к теории систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений.
Глава XVII. АБСТРАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 2. РЕШЕНИЕ ЛОБАЧЕВСКОГО
§ 3. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
§ 4. РЕАЛЬНЫЙ СМЫСЛ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО
§ 5. АКСИОМЫ ГЕОМЕТРИИ, ИХ ПРОВЕРКА ДЛЯ УКАЗАННОЙ МОДЕЛИ
§ 6. ВЫДЕЛЕНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ ИЗ ЭВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
§ 7. МНОГОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
§ 8. ОБОБЩЕНИЕ ПРЕДМЕТА ГЕОМЕТРИИ
§ 9. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
§ 10. АБСТРАКТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И РЕАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Глава XVIII. ТОПОЛОГИЯ
§ 2. ПОВЕРХНОСТИ
§ 3. МНОГООБРАЗИЯ
§ 4. КОМБИНАТОРНЫЙ МЕТОД
§ 5. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
§ 6. РАЗВИТИЕ ТОПОЛОГИИ
§ 7. МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Глава XIX. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
§ 1. n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
§ 2. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО (БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО)
Гильбертово пространство.
§ 3. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ ФУНКЦИЙ
§ 4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Свойства интегральных уравнений.
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Собственные значения и собственные векторы операторов.
Связь функционального анализа с другими разделами математики и квантовой механикой.
Глава XX. ГРУППЫ И ДРУГИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
§ 2. СИММЕТРИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Преобразования.
Взаимно однозначные преобразования.
Общее определение симметрии.
§ 3. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Группы преобразований.
Разложение подстановок на циклы.
Подгруппы.
§ 4. ФЕДОРОВСКИЕ ГРУППЫ
Группы симметрий бесконечных плоских фигур.
Кристаллографические группы.
§ 5. ГРУППЫ ГАЛУА
Разрешимость уравнений в радикалах.
§ 6. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ГРУПП
Изоморфизм.
Инвариантные подгруппы и фактор-группы.
Гомоморфизм.
§ 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ
Топологические группы.
§ 8. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ГРУППЫ
Определяющие соотношения.
§ 9. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРЫ ГРУПП
§ 10. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП
§ 11. ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Гиперкомплексные числа.
Кватернионы.
Алгебра векторов.
§ 12. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
Алгебра матриц.
Представления ассоциативных алгебр.
Строение алгебр.
§ 13. АЛГЕБРЫ ЛИ
§ 14. КОЛЬЦА
Арифметические свойства колец.
Алгебраические многообразия.
Строение некоммутативных колец.
§ 15. СТРУКТУРЫ
§ 16. ОБЩИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 3

Оглавление