Преобразование координат.

Рассмотрим теперь вопрос о преобразовании координат в -мерном пространстве, т. е. вопрос о том, как изменяются координаты векторов при переходе от одного базиса к другому.

Пусть дан исходный базис и пусть — какой-либо другой базис пространства. Пусть далее матрица, столбцы которой являются координатами векторов нового базиса относительно исходного. Матрица С, очевидно, невырожденная в силу линейной независимости векторов Она называется матрицей преобразования координат.

Обозначим через координаты некоторого вектора X относительно базиса и через — координаты того же вектора относительно базиса Тогда следовательно, координаты вектора X относительно исходного базиса образуют столбец

Итак, исходные координаты выражаются через преобразованные линейным однородным образом с матрицей С.

Формулы, выражающие зависимость между координатами относительно исходного и преобразованного базисов, формально совпадают с формулами, связывающими координаты соответствующих векторов при невырожденном линейном преобразовании пространства. Это обстоятельство дает возможность интерпретировать отвлеченно заданное линейное однородное преобразование переменных с невырожденной матрицей или как преобразование координат, или как линейное преобразование пространства. В каждом конкретном случае выбор одной из этих двух интерпретаций определяется содержанием рассматриваемой задачи.

Рассмотрим теперь вопрос о том, как изменяется матрица линейного преобразования пространства при преобразовании координат.

Пусть в базисе данное линейное преобразование имеет матрицу А, так что столбец из координат преобразованного вектора связан со столбцом X исходного формулой

Пусть теперь сделано преобразование координат с матрицей обозначают соответственно столбцы из координат исходного и преобразованного векторов относительно нового базиса. Тогда откуда

Итак, матрицей рассматриваемого преобразования относительно нового базиса является матрица

Матрицы А и В, связанные соотношением , где С — некоторая неособенная матрица, называются подобными. Одному и тому же линейному преобразованию по отношению к различным базисам соответствует класс попарно подобных между собой матриц.