Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Группы преобразований.Совокупности преобразований, характеризующих симметрию некоторой фигуры, не могут быть произвольными, они заведомо должны обладать следующими свойствами: 1. Произведение двух преобразований, принадлежащих совокупности, само принадлежит этой совокупности. 2. Тождественное преобразование принадлежит совокупности. 3. Если преобразование принадлежит совокупности, то обратное преобразование также принадлежит совокупности.
Рис. 11. Эти свойства оказались очень важными для изучения преобразований, ввиду чего всякую совокупность взаимно однозначных преобразований множества М, обладающую перечисленными тремя свойствами, стали называть группой преобразоёйний множества М, независимо от того, характеризует эта совокупность симметрию некоторой фигуры или нет. С точки зрения алгебры свойства 1—3 являются очень существенными, так как они позволяют, исходя из некоторых преобразований А, В, С,..., принадлежащих заданной совокупности, составлять различные новые преобразования вида Число преобразований, составляющих группу, называется порядком группы; последний может быть и конечным и бесконечным. Соответственно этому и группы разделяются на конечные и бесконечные. Выше была рассмотрена группа симметрий квадрата на плоскости. Эта группа оказалась содержащей всего восемь преобразований. С другой стороны, бесконечная совокупность точек Совокупность преобразований, сохраняющих некоторый объект, т. е. характеризующих его симметрию, всегда является группой. Этот способ задания групп в виде групп симметрий принадлежит к числу важнейших. По этому принципу получаются наиболее важные группы. К ним прежде всего следует отнести группы движений плоскости и пространства. Большой интерес представляют также группы симметрий правильных многогранников. Как известно, в пространстве существует всего пять типов правильных многогранников (4, 6, 8, 12 и 20-гранники). Беря какой-либо из правильных многогранников и рассматривая все движения пространства, совмещающие данный многогранник с собой, мы получим группу — группу симметрий этого многогранника. Если вместо всех движений рассматривать только движения 1-го рода, совмещающие многогранник с самим собой, то получим опять группу, являющуюся частью полной группы симметрий многогранника. Эта группа называется группой вращений многогранника. Поскольку при совмещении многогранника с собой его центр также совмещается с Самим собой, то все движения, входящие в группу симметрий многогранника, оставляют неподвижным центр многогранника и потому могут быть только или поворотами около осей, проходящих через центр, или отражениями относительно плоскостей, проходящих через центр, или, наконец, отражениями в таких плоскостях, сопровождаемыми поворотами вокруг осей, проходящих через центр и перпендикулярных к этим плоскостям. Пользуясь этим замечанием, легко найти все группы симметрий и группы вращений правильных многогранников. В табл. 1 указаны порядки групп симметрий и групп вращений правильных многогранников. Все эти группы являются конечными. Таблица 1
Группы подстановок. Из групп преобразований исторически первыми рассматривались в математике, группы подстановок переменных множества переменных называется симметрической группой подстановок этого множества. Число переставляемых переменных называется степенью симметрической группы. Вместо подстановок переменных Рассмотрим многочлен
Ясно, что каждая подстановка переменных или оставляет величину многочлена F неизменной или меняет лишь его знак. Подстановки первого рода называются четными. Подстановки, меняющие знак Произведение двух четных подстановок есть четная подстановка, ибо четные подстановки образуют группу. Произведение двух нечетных подстановок есть подстановка четная. Действительно, если А и В — нечетные подстановки, то
Таким же образом доказывается, что произведение четной и нечетной подстановок есть нечетная подстановка и что подстановка обратная к четной или нечетной подстановке есть подстановка той же четности. Примером нечетной подстановки может служить подстановка
|
1 |
Оглавление
|