Главная > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 3
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Группы преобразований.

Совокупности преобразований, характеризующих симметрию некоторой фигуры, не могут быть произвольными, они заведомо должны обладать следующими свойствами:

1. Произведение двух преобразований, принадлежащих совокупности, само принадлежит этой совокупности.

2. Тождественное преобразование принадлежит совокупности.

3. Если преобразование принадлежит совокупности, то обратное преобразование также принадлежит совокупности.

Рис. 11.

Эти свойства оказались очень важными для изучения преобразований, ввиду чего всякую совокупность взаимно однозначных преобразований множества М, обладающую перечисленными тремя свойствами, стали называть группой преобразоёйний множества М, независимо от того, характеризует эта совокупность симметрию некоторой фигуры или нет.

С точки зрения алгебры свойства 1—3 являются очень существенными, так как они позволяют, исходя из некоторых преобразований А, В, С,..., принадлежащих заданной совокупности, составлять различные новые преобразования вида причем свойства 1—3 гарантируют, что все получаемые преобразования не выходят за пределы заданной совокупности преобразований.

Число преобразований, составляющих группу, называется порядком группы; последний может быть и конечным и бесконечным. Соответственно этому и группы разделяются на конечные и бесконечные. Выше была рассмотрена группа симметрий квадрата на плоскости. Эта группа оказалась содержащей всего восемь преобразований. С другой стороны, бесконечная совокупность точек плоскости, изображенная на рис. И, преобразуется в себя следующими движениями плоскости: переносами вдоль оси ОА в том и другом направлениях на расстояния, кратные расстоянию О А; отражениями относительно пунктирных прямых; отражением относительно оси ОА. Отсюда видно, что группа симметрий этой фигуры бесконечная.

Совокупность преобразований, сохраняющих некоторый объект, т. е. характеризующих его симметрию, всегда является группой. Этот

способ задания групп в виде групп симметрий принадлежит к числу важнейших. По этому принципу получаются наиболее важные группы. К ним прежде всего следует отнести группы движений плоскости и пространства. Большой интерес представляют также группы симметрий правильных многогранников. Как известно, в пространстве существует всего пять типов правильных многогранников (4, 6, 8, 12 и 20-гранники). Беря какой-либо из правильных многогранников и рассматривая все движения пространства, совмещающие данный многогранник с собой, мы получим группу — группу симметрий этого многогранника. Если вместо всех движений рассматривать только движения 1-го рода, совмещающие многогранник с самим собой, то получим опять группу, являющуюся частью полной группы симметрий многогранника. Эта группа называется группой вращений многогранника. Поскольку при совмещении многогранника с собой его центр также совмещается с Самим собой, то все движения, входящие в группу симметрий многогранника, оставляют неподвижным центр многогранника и потому могут быть только или поворотами около осей, проходящих через центр, или отражениями относительно плоскостей, проходящих через центр, или, наконец, отражениями в таких плоскостях, сопровождаемыми поворотами вокруг осей, проходящих через центр и перпендикулярных к этим плоскостям.

Пользуясь этим замечанием, легко найти все группы симметрий и группы вращений правильных многогранников. В табл. 1 указаны порядки групп симметрий и групп вращений правильных многогранников. Все эти группы являются конечными.

Таблица 1

Группы подстановок. Из групп преобразований исторически первыми рассматривались в математике, группы подстановок переменных в многочленах от этих переменных. Рассмотрение таких групп тесно связано с вопросом о решении в радикалах уравнений высших степеней. Очевидно, что совокупность всех подстановок переменных, не меняющих значений одного или нескольких многочленов от этих переменных, является группой. Многочлены, не меняющиеся при всех подстановках переменных, называются симметрическими многочленами. Например, есть симметрический многочлен. Соответственно, совокупность всех подстановок данного

множества переменных называется симметрической группой подстановок этого множества.

Число переставляемых переменных называется степенью симметрической группы. Вместо подстановок переменных можно рассматривать просто подстановки чисел Так как каждую подстановку чисел можно записать в виде где числа записанные в некотором порядке, то число всех подстановок равно числу перестановок элементов, т. е. порядок симметрической группы равен Этот порядок очень быстро растет степенью и порядок группы подстановок 10 переменных равен уже

Рассмотрим многочлен

Ясно, что каждая подстановка переменных или оставляет величину многочлена F неизменной или меняет лишь его знак. Подстановки первого рода называются четными. Подстановки, меняющие знак называются нечетными. Совокупность четных подстановок образует группу симметрий многочлена (1). Она называется знакопеременной группой подстановок.

Произведение двух четных подстановок есть четная подстановка, ибо четные подстановки образуют группу. Произведение двух нечетных подстановок есть подстановка четная.

Действительно, если А и В — нечетные подстановки, то

Таким же образом доказывается, что произведение четной и нечетной подстановок есть нечетная подстановка и что подстановка обратная к четной или нечетной подстановке есть подстановка той же четности.

Примером нечетной подстановки может служить подстановка меняющая местами элементы 1 и

1
Оглавление
email@scask.ru