Группы преобразований.

Совокупности преобразований, характеризующих симметрию некоторой фигуры, не могут быть произвольными, они заведомо должны обладать следующими свойствами:

1. Произведение двух преобразований, принадлежащих совокупности, само принадлежит этой совокупности.

2. Тождественное преобразование принадлежит совокупности.

3. Если преобразование принадлежит совокупности, то обратное преобразование также принадлежит совокупности.

Рис. 11.

Эти свойства оказались очень важными для изучения преобразований, ввиду чего всякую совокупность взаимно однозначных преобразований множества М, обладающую перечисленными тремя свойствами, стали называть группой преобразоёйний множества М, независимо от того, характеризует эта совокупность симметрию некоторой фигуры или нет.

С точки зрения алгебры свойства 1—3 являются очень существенными, так как они позволяют, исходя из некоторых преобразований А, В, С,..., принадлежащих заданной совокупности, составлять различные новые преобразования вида причем свойства 1—3 гарантируют, что все получаемые преобразования не выходят за пределы заданной совокупности преобразований.

Число преобразований, составляющих группу, называется порядком группы; последний может быть и конечным и бесконечным. Соответственно этому и группы разделяются на конечные и бесконечные. Выше была рассмотрена группа симметрий квадрата на плоскости. Эта группа оказалась содержащей всего восемь преобразований. С другой стороны, бесконечная совокупность точек плоскости, изображенная на рис. И, преобразуется в себя следующими движениями плоскости: переносами вдоль оси ОА в том и другом направлениях на расстояния, кратные расстоянию О А; отражениями относительно пунктирных прямых; отражением относительно оси ОА. Отсюда видно, что группа симметрий этой фигуры бесконечная.

Совокупность преобразований, сохраняющих некоторый объект, т. е. характеризующих его симметрию, всегда является группой. Этот

способ задания групп в виде групп симметрий принадлежит к числу важнейших. По этому принципу получаются наиболее важные группы. К ним прежде всего следует отнести группы движений плоскости и пространства. Большой интерес представляют также группы симметрий правильных многогранников. Как известно, в пространстве существует всего пять типов правильных многогранников (4, 6, 8, 12 и 20-гранники). Беря какой-либо из правильных многогранников и рассматривая все движения пространства, совмещающие данный многогранник с собой, мы получим группу — группу симметрий этого многогранника. Если вместо всех движений рассматривать только движения 1-го рода, совмещающие многогранник с самим собой, то получим опять группу, являющуюся частью полной группы симметрий многогранника. Эта группа называется группой вращений многогранника. Поскольку при совмещении многогранника с собой его центр также совмещается с Самим собой, то все движения, входящие в группу симметрий многогранника, оставляют неподвижным центр многогранника и потому могут быть только или поворотами около осей, проходящих через центр, или отражениями относительно плоскостей, проходящих через центр, или, наконец, отражениями в таких плоскостях, сопровождаемыми поворотами вокруг осей, проходящих через центр и перпендикулярных к этим плоскостям.

Пользуясь этим замечанием, легко найти все группы симметрий и группы вращений правильных многогранников. В табл. 1 указаны порядки групп симметрий и групп вращений правильных многогранников. Все эти группы являются конечными.

Таблица 1

Группы подстановок. Из групп преобразований исторически первыми рассматривались в математике, группы подстановок переменных в многочленах от этих переменных. Рассмотрение таких групп тесно связано с вопросом о решении в радикалах уравнений высших степеней. Очевидно, что совокупность всех подстановок переменных, не меняющих значений одного или нескольких многочленов от этих переменных, является группой. Многочлены, не меняющиеся при всех подстановках переменных, называются симметрическими многочленами. Например, есть симметрический многочлен. Соответственно, совокупность всех подстановок данного

множества переменных называется симметрической группой подстановок этого множества.

Число переставляемых переменных называется степенью симметрической группы. Вместо подстановок переменных можно рассматривать просто подстановки чисел Так как каждую подстановку чисел можно записать в виде где числа записанные в некотором порядке, то число всех подстановок равно числу перестановок элементов, т. е. порядок симметрической группы равен Этот порядок очень быстро растет степенью и порядок группы подстановок 10 переменных равен уже

Рассмотрим многочлен

Ясно, что каждая подстановка переменных или оставляет величину многочлена F неизменной или меняет лишь его знак. Подстановки первого рода называются четными. Подстановки, меняющие знак называются нечетными. Совокупность четных подстановок образует группу симметрий многочлена (1). Она называется знакопеременной группой подстановок.

Произведение двух четных подстановок есть четная подстановка, ибо четные подстановки образуют группу. Произведение двух нечетных подстановок есть подстановка четная.

Действительно, если А и В — нечетные подстановки, то

Таким же образом доказывается, что произведение четной и нечетной подстановок есть нечетная подстановка и что подстановка обратная к четной или нечетной подстановке есть подстановка той же четности.

Примером нечетной подстановки может служить подстановка меняющая местами элементы 1 и