Подпространства.

Совокупность векторов -мерного линейного пространства удовлетворяющая требованию, что каждая линейная комбинация

любых векторов рассматриваемой совокупности тоже принадлежит к пей, называется подпространством этого пространства. Очевидно, что подпространство пространства само является линейным пространством и, следовательно, имеет базис и размерность. Очевидно также, что размерность подпространства не превосходит размерности всего пространства и может равняться ей в том и только в том случае, когда подпространство совпадает со всем пространством.

Примерами подпространств трехмерного векторного пространства могут служить рассматриваемые с точностью до переноса плоскости в прямые, точнее, совокупности всех векторов, укладывающихся на одно» плоскости или на одной прямой.

Наиболее часто приходится рассматривать подпространства, «натянутые» на систему векторов. Эти подпространства определяются следующим образом. Пусть дапа система линейно-независимых или зависимых векторов пространства . Тогда совокупность всех линейных комбинаций этих векторов образует подпространство пространства которое и называется подпространством, натянутым на векторы .

Размерность такого подпространства называется рангом системы векторов . Легко видеть, что ранг системы векторов равен максимальному числу линейно-независимых векторов, содержащихся в этой системе.

«Совокупность», состоящая только из нулевого вектора, формально удовлетворяет требованиям, предъявляемым к подпространству. Размерность этого подпространства считается равной нулю.

Если даны два подпространства пространства то из них естественным образом конструируются еще два подпространства — их векторная сумма и пересечение.

Векторной суммой двух подпространств Р и называется совокупность всех сумм векторов, принадлежащих подпространствам Р и Векторную сумму можно рассматривать также как подпространство, натянутое на объедипенне базисов подпространств Р и

Пересечением двух подпространств называется совокупность всех векторов, принадлежащих обоим подпространствам. Например, векторной суммой двух плоскостей (т. е. двумерных векторных подпространств) в обычном трехмерном пространстве является все пространство (если только плоскости не совпадают), а пересечением — прямая линия (при той же оговорке).

Размерности двух данных подпространств, размерность их векторной суммы и размерность их пересечения удовлетворяют следующему иптереспому соотношению:

Доказательство этого утверждения мы опускаем.

Из этого соотношения можно сделать некоторые выводы, касающиеся пересечения подпространств в частных случаях. Например, две несовпадающие плоскости (т. е. двумерные подпространства) в пространстве четырех измерений пересекаются, вообще говоря, только в точке (размерность их пересечения равна нулю) и две плоскости пересекаются по прямой только в том случае, если их векторная сумма трехмерна, т. е. если обе плоскости укладываются в некоторое трехмерное подпространство. Действительно, в этом случае откуда следует, что только при