Матричная запись системы n уравнений с n неизвестными.

Система n линейных уравнений с n неизвестными

может быть записана в матричных обозначениях в виде одного равенства

Здесь А обозначает матрицу из коэффициентов, X — столбец, составленный из неизвестных, В — столбец из свободных членов.

Решение системы (если определитель матрицы А отличен от нуля) подробно записывается так [см. формулу (6)]:

или в матричной форме

Матрица, стоящая первым множителем в правой части равенства, называется матрицей, обратной к матрице А, и обозначается через . Применяя это обозначение, получим решение системы в следующем простом и естественном виде, напоминающем формулу для решения одного уравнения с одним неизвестным:

Нетрудно дать другое обоснование полученному результату в терминах алгебры матриц.

Для этого прежде всего следует отметить особую роль матрицы

называемой единичной матрицей.

Единичная матрица среди квадратных матриц играет такую же роль, какую играет число 1 среди всех чисел. Именно: при любой матрице А имеют место равенства Это легко проверяется на основании правила умножения матриц.

Определенная выше матрица обратная к матрице А, играет по отношению к ней роль, сходную с той, которую играет число, обратное к данному числу. Именно:

Справедливость этих равенств проверяется на основании правил умножения матриц и свойств 3 и 6 определителя.

Зная эти свойства единичной и обратной матриц, можно провести решение системы следующим образом.

Пусть . Тогда . Но и, следовательно,

Пусть теперь . Тогда

Итак, «уравнение» АХ = В имеет единственное решение если только существует.

Мы установили существование обратной матрицы для матрицы А в предположении, что определитель матрицы А отличен от нуля. Это условие не только достаточно, но и необходимо для существования обратной матрицы. Действительно, пусть для матрицы А существует обратная т. е. такая, что Тогда по свойству определителя произведения двух матриц

откуда следует, что определитель матрицы А не равен нулю.

Матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной или неособенной. Мы установили, таким образом, что обратная матрица всегда существует для невырожденных матриц и только для них.

Введение понятия обратной матрицы оказывается полезным не только в теории систем линейных уравнений, но и во многих других задачах линейной алгебры.

В заключение отметим, что выведенные формулы для решения линейных систем являются незаменимым орудием в теоретических исследованиях, но мало применимы для численного решения систем.

Как мы уже отмечали, для численного решения систем разработано много различных способов и вычислительных схем, и ввиду большой важности этой задачи для практики исследовательская работа по упрощению численного решения систем (особенно с большим числом неизвестных) интенсивно ведется и в настоящее время.