Общее определение симметрии.

В математике и ее приложениях очень редко возникает потребность рассмотрения всех преобразований данного множества. Дело в том, что сами множества редко приходится мыслить только как простое объединение своих элементов, ничем не связанных друг с другом. Это и естественно, так как множества, рассматриваемые в математике, являются отвлеченными образами реальных совокупностей, элементы которых всегда находятся в бесконечном числе взаимосвязей друг с другом и в связях с тем, что находится за пределами рассматриваемого множества. При этом в математике приходится отвлекаться от большей части этих связей, но наиболее существенные

сохранять и учитывать. Это заставляет в первую очередь рассматривать такие преобразования множеств, которые не нарушают тех или иных учитываемых связей между элементами. Такие преобразования часто называют допустимыми преобразованиями или автоморфизмами по отношению к учитываемым связям элементов множества. Например, для точек пространства важным является понятие расстояния между двумя точками. Наличие этого понятия учитывает связь между точками, заключающуюся в том, что любые две точки находятся на определенном расстоянии одна от другой. Преобразованиями, не нарушающими этих связей, являются такие преобразования, при которых расстояния между точками не изменяются. Эти преобразования называются «движениями» пространства.

Пользуясь понятием автоморфизма, не трудно дать общее определение симметрии. Пусть дано некоторое множество М, в котором учитываются определенные связи между элементами, и пусть Р есть некоторая часть М. Говорят, что совокупность Р симметрична или инвариантна относительно допустимого преобразования А множества М, если преобразование А переводит каждый элемент множества Р снова в элемент множества Р. Поэтому симметрия множества Р характеризуется совокупностью допустимых преобразований объемлющего множества М, преобразующих Р в себя. Понятие симметрии тел в пространстве вполне подходит под данное определение. Роль множества М играет все пространство, роль допустимых преобразований — «движения», роль Р — данное тело. Симметрия тела Р характеризуется, таким образом, совокупностью движений, при которых тело Р совмещается с собой.

Рассмотренные ранее отражения, параллельные переносы и повороты пространства около заданной прямой являются частными случаями движений, так как расстояния между точками при этих преобразованиях, очевидно, не меняются. Более подробное исследование показывает, что каждое движение плоскости есть либо перенос, либо поворот около центра, либо отражение относительно прямой, либо комбинация отражения относительно прямой с переносом вдоль этой прямой. Аналогично каждое движение пространства есть либо параллельный перенос, либо поворот около оси, либо винтовое движение, т. е. поворот вокруг оси, сопровождаемый переносом вдоль этой оси, либо же отражение относительно плоскости, сопровождаемое, может быть, еще переносом вдоль плоскости отражения или поворотом вокруг перпендикулярной к этой плоскости оси.

Параллельные переносы, повороты и винтовые движения пространства называются его собственными движениями, или движениями 1-го рода. Остальные «движения» (включающие в себя отражение) носят название несобственных движений, или движений 2-го рода. На плоскости движениями 1-го рода будут параллельные переносы и повороты,

а отражения относительно прямой и отражения, сопровождаемые поворотом или переносом, будут движениями 2-го рода.

Легко сообразить, что преобразования, являющиеся движениями 1-го рода, можно получить как результат непрерывного движения пространства самого в себе или плоскости самой по себе. Движения 2-го рода таким образом получить невозможно, так как этому препятствуют зеркальные отражения, входящие в их состав.

Часто говорят, что плоскость симметрична во всех своих частях или что все точки плоскости равноправны. На точном языке преобразований это утверждение означает, что любую точку плоскости можно совместить с любой другой ее точкой посредством подходящего «движения».

Рис. 7.

Рассмотренные ранее случаи симметрии тел или фигур также охватываются общим определением симметрии. Так, например, тело, симметричное относительно плоскости а, совмещается само с собой при отражении относительно плоскости а; тело, симметричное относительно центра О, совмещается само с собой при отражении относительно О. Поэтому степень симметричности тела или пространственной фигуры вполне характеризуется совокупностью тех движений 1-го и 2-го рода пространства, которые совмещают тело или фигуру самое с собой. Чем богаче и разнообразнее указанная совокупность движений, тем большей степенью симметричности обладает тело или фигура. В частности, если эта совокупность не содержит никаких движений, кроме тождественного преобразования, то тело можно назвать несимметричным.

Степень, симметричности квадрата на плоскости характеризуется совокупностью движений плоскости, совмещающих квадрат сам с собой. Но если квадрат совмещается сам с собой, то точка пересечения его диагоналей также должна совмещаться сама с собой. Поэтому искомые движения оставляют центр квадрата неподвижным и потому являются либо поворотами около центра, либо отражениями относительно прямых, проходящих через центр. Из рис. 7 легко усматриваем, что квадрат симметричен относительно поворотов вокруг его центра О на углы, кратные 90°, а также по отношению к отражениям относительно диагоналей и прямых Эти восемь движений и характеризуют симметрию квадрата.

Совокупность симметрий прямоугольника сводится к поворотам около центра на 180° и отражениям относительно прямых, соединяющих середины противоположных сторон, а совокупность симметрий параллелограмма (рис. 8) состоит лишь из поворотов вокруг центра на углы, кратные 180°, т. е. из отражения относительно центра и тождественного преобразования.

Выше мы приводили алгебраический пример симметрии; именно, было отмечено, что имеет смысл понятие симметрии многочлена от нескольких переменных.

Рассмотрим, как можно охарактеризовать симметрию многочлена. Будем говорить, что в многочлене сделана подстановка неизвестных или короче если в данный многочлен всюду вместо буквы поставлена буква вместо поставлена Полученный таким образом многочлен обозначается через . Так, если

то

Рис. 8.

Симметрия данного многочлена характеризуется совокупностью тех подстановок неизвестных, которые, будучи выполнены над многочленом, его не изменяют. Например, симметрия многочлена характеризуется четырьмя подстановками: симметрия многочлена характеризуется лишь двумя подстановками: и