Расположение точечного множества вблизи какой-либо точки на прямой.

Пусть Е — точечное множество и х — какая-либо точка на прямой. Рассмотрим различные возможности расположения множества Е вблизи точки х. Возможны следующие случаи:

1. Ни точка х, ни достаточно близкие к ней точки не принадлежат множеству Е.

2. Точка х не принадлежит Е, но сколь угодно близко к ней Имеются точки множества Е.

3. Точка х принадлежит Е, но все достаточно близкие к ней точки не принадлежат Е.

4. Точка х принадлежит Е, и сколь угодно близко к ней имеются другие точки множества Е.

В случае 1 точка х называется внешней к множеству Е, в случае 3 — изолированной точкой множества Е, а в случаях 2 и 4 — предельной точкой множества Е.

Таким образом, если , то точка х может быть либо внешней к Е, либо предельной для него, а если х с Е, то она может быть либо изолированной точкой множества Е, либо его предельной точкой.

Предельная точка может принадлежать и не принадлежать множеству Е и характеризуется тем условием, что сколь угодно близко к ней имеются точки множества Е. Иными словами, точка х является предельной точкой множества Е, если любой интервал содержащий точку х, содержит бесконечно много точек множества Е. Понятие предельной точки является одним из весьма важных понятий теории точечных множеств.

Если точка х и все достаточно близкие к ней точки принадлежат множеству Е, то такая точка х называется внутренней точкой Е. Всякая точка х, которая не является для Е ни внешней, ни внутренней, называется граничной точкой множества Е.

Укажем несколько примеров, поясняющих все эти понятия.

Пример 1. Пусть множество состоит из точек с координатами

Тогда каждая точка этого множества является его изолированной точкой, точка 0 есть предельная точка (не принадлежащая этому множеству), а все остальные точки на прямой — внешние к

Пример 2. Пусть множество состоит из всех рациональных точек отрезка (0, 1]. Это множество не имеет изолированных точек, каждая точка отрезка [0, 1] является предельной точкой а все остальные точки на прямой — внешние к Ясно, что среди предельных точек множества имеются как принадлежащие к нему, так и не принадлежащие ему.

Пример 3. Пусть множество состоит из всех точек отрезка (0,1]. Как и в предыдущем примере, множество не имеет изолированных точек, и каждая точка отрезка [0, 1] является его предельпой точкой. Однако, в отличие от предыдущего примера, все предельные точки принадлежат этому множеству.

Пример 4. Пусть множество состоит из всех точек с целыми координатами на прямой. Каждая точка является его изолированной точкой; множество не имеет предельных точек.

Отметим также, что в примере 3 всякая точка интервала (0, 1) является внутренней точкой а в примере 2 всякая точка отрезка [0, 1] - граничная точка

Из приведенных выше примеров видно, что бесконечное множество точек на прямой может иметь изолированные точки а может их не иметь точно так же оно может иметь внутренние точки и может их не иметь Что же касается предельных точек, то лишь множество примера 4 не имеет ни одной предельной точки. Как показывает следующая важная теорема, это связано с тем, что множество неограничено.