Свойства интеграла Лебега.

Интеграл Лебега обладает всеми хорошими свойствами обычного интеграла, именно, интеграл от суммы равен сумме интегралов, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла и т. д. Однако интеграл Лебега обладает еще одним замечательным свойством, которым обычный интеграл не обладает: если измеримые функции ограничены в совокупности:

для любого и любого х из отрезка и последовательность сходится почти всюду к функции то

Ипыми словами, интеграл Лебега допускает безотказный переход к пределу. Именно это свойство интеграла Лебега делает его весьма удобным, а часто и неизбежным инструментом во многих исследованиях. В частности, интеграл Лебега совершенно необходим в теории тригонометрических рядов, в теории функциональных пространств (см. главу XIX) и других разделах математики.

Приведем пример. Пусть — периодическая функция с периодом и

— ее ряд Фурье. Если, например, функция непрерывна, то, как нетрудно показать,

Это тождество носит название равенства Парсеваля. Рассмотрим такой вопрос: для какого класса периодических функций справедливо равенство Парсеваля Ответ на этот вопрос гласит: равенство Парсеваля (8) выполняется в том и только в том случае, если функция измерима на отрезке и функция интегрируема по Лебегу на этом отрезке.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)