Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Гомоморфизм.Понятие фактор-группы весьма тесно связано с основным для всей теории групп понятием гомоморфного отображения. Однозначное отображение совокупности элементов группы Таким образом, обозначая для каждого элемента х из группы
Из определений гомоморфизма и изоморфизма видно, что изоморфное отображение обязательно взаимно однозначное, в то время как гомоморфное отображение однозначно только в одну сторону: каждому элементу группы Во многих положениях, связанных с преобразованиями, гомоморфное отображение появляется само собой. Рассмотрим, например, группу симметрий правильного тетраэдра (рис. 20). Эта группа изоморфна симметрической группе подстановок четырех элементов, ибо существует одно и только одно движение (1-го или 2-го рода), переводящее вершины Рассмотрим теперь прямые симметрической группы подстановок четырех элементов Рассмотрим еще несколько примеров. Совокупность всех подстановок
Рис. 20. Другой пример: если каждому действительному числу Выше было отмечено, что на плоскости каждое движение
Первая скобка есть поворот вокруг О, а вторая — произведение преобразованного переноса Наконец, докажем, что фактор-группа Действительно, поставив каждому элементу гомоморфное отображение Возвращаясь к общим свойствам гомоморфных отображений, покажем, что нейтральный элемент при любом гомоморфизме переходит в нейтральный элемент и что взаимно обратные элементы переходят во взаимно Обратные же. В самом деле, если
Доказанные утверждения позволяют легко найти образ любого произведения элементов из
Следующая теорема лежит в основе всей теории гомоморфных отображений. При гомоморфном отображении произвольной группы Докажем эту теорему. Пусть
т. е.
т. е. Для доказательства второго утверждения возьмем в группе Наконец, третье утверждение теоремы очевидно: произвольным смежным классам
отвечает Теорема о гомоморфизмах показывает, что каждый гомоморфный образ Н группы
|
1 |
Оглавление
|