Гомоморфизм.

Понятие фактор-группы весьма тесно связано с основным для всей теории групп понятием гомоморфного отображения.

Однозначное отображение совокупности элементов группы на совокупность элементов группы Н называется гомоморфизмом или гомоморфным отображением, если произведению каждых двух элементов первой группы отвечает произведение соответствующих элементов второй.

Таким образом, обозначая для каждого элемента х из группы через соответствующий элемент группы Н, гомоморфное отображение можно характеризовать свойством

Из определений гомоморфизма и изоморфизма видно, что изоморфное отображение обязательно взаимно однозначное, в то время как гомоморфное отображение однозначно только в одну сторону: каждому элементу группы отвечает единственный элемент группы Н, но различные элементы могут иметь один и тот же образ в Н, В известном смысле можно утверждать, что при изоморфном отображении группа Н является точной копией группы а при гомоморфном отображении, при переходе от к Н, различия между некоторыми элементами стираются, некоторые элементы как бы «склеиваются» в один элемент Н. Однако эта «грубость» гомоморфного отображения не есть недостаток, а, наоборот, является большим преимуществом, позволяющим употреблять гомоморфное отображение в качестве мощного средства для исследования свойств групп.

Во многих положениях, связанных с преобразованиями, гомоморфное отображение появляется само собой. Рассмотрим, например, группу симметрий правильного тетраэдра (рис. 20). Эта группа изоморфна симметрической группе подстановок четырех элементов, ибо существует одно и только одно движение (1-го или 2-го рода), переводящее вершины в любое другое заданное расположение.

Рассмотрим теперь прямые , соединяющие середины противоположных ребер. Каждое движение, совмещающее тетраэдр с собой, порождает некоторую подстановку и всякая подстановка порождается некоторой симметрией тетраэдра. Ясно, что произведению преобразований тетраэдра соответствует произведение подстановок прямых По рис. 20 легко проследить, как естественным образом осуществляется при этом гомоморфное отображение

симметрической группы подстановок четырех элементов на симметрическую группу подстановок трех элементов Без труда можно найти элементы «большей» группы, которые «склеиваются» при этом гомоморфизме.

Рассмотрим еще несколько примеров. Совокупность всех подстановок элементов является при некоммутативной группой. С другой стороны, числа относительно умножения также образуют группу. Поставим теперь в соответствие каждой четной подстановке каких-либо элементов число а каждой нечетной подстановке число —1. Это дает гомоморфное отображение симметрической группы подстановок элементов на группу так как, согласно § 3, произведение подстановок одинаковой четности есть подстановка четная, а произведение подстановок различной четности есть подстановка нечетная.

Рис. 20.

Другой пример: если каждому действительному числу поставить в соответствие его абсолютную величину то возникающее отображение группы положительных и отрицательных действительных чисел относительно умножения (нуль исключается) на группу только положительных действительных чисел относительно умножения будет гомоморфизмом, поскольку

Выше было отмечено, что на плоскости каждое движение рода А может быть представлено в виде произведения подходящего поворота вокруг фиксированной точки О и некоторого параллельного переноса Повороты вокруг точки О образуют группу. Поэтому соответствие однозначно отображает группу плоских движений рода на группу поворотов плоскости вокруг точки О. Покажем, что это отображение является гомоморфизмом. Из разложений следует

Первая скобка есть поворот вокруг О, а вторая — произведение преобразованного переноса на перенос и, следовательно, является переносом. Это показывает, что произведению движений отвечает произведение соответствующих поворотов т. е. что рассматриваемое отображение есть гомоморфизм.

Наконец, докажем, что фактор-группа произвольной группы по любому ее нормальному делителю есть гомоморфный образ группы

Действительно, поставив каждому элементу группы в соответствие смежный класс содержащий мы получаем искомое

гомоморфное отображение на так как произведению отвечает смежный класс равный произведению смежных классов отвечающих элементам .

Возвращаясь к общим свойствам гомоморфных отображений, покажем, что нейтральный элемент при любом гомоморфизме переходит в нейтральный элемент и что взаимно обратные элементы переходят во взаимно Обратные же.

В самом деле, если — нейтральный элемент группы его образ в , то из следует откуда, обозначая через нейтральный элемент группы Н, получим: Первое утверждение доказано. Пусть теперь х и у — взаимно обратные элементы в , а и у — их образы в Н. Из следует и у — взаимно? обратные элементы в Н, и, значит,

Доказанные утверждения позволяют легко найти образ любого произведения элементов из Например,

Следующая теорема лежит в основе всей теории гомоморфных отображений.

При гомоморфном отображении произвольной группы на группу Н совокупность элементов группы отображающихся в нейтральный элемент группы Н, является инвариантной подгруппой в совокупность элементов отображающихся в произвольный фиксированный элемент группы А, является смежным классом по а устанавливающееся таким образом взаимно однозначное соответствие между смежными классами по и элементами группы Н есть изоморфизм между И и фактор-группой

Докажем эту теорему. Пусть — произвольные элементы из Это означает, что где штрихом, как и ранее, обозначены образы элементов в И. Но тогда

т. е. и обратные элементы принадлежат и, следовательно, совокупность является группой. Далее, для произвольного элемента из

т. е. входит в при любом из и любом а из а из этого, очевидно, следует, что — инвариантная подгруппа. Первое утверждение теоремы доказано.

Для доказательства второго утверждения возьмем в группе произвольный элемент и рассмотрим совокупность всех тех элементов к из образ которых и совпадает с образом элемента Пусть , где тогда . Следовательно, Обратно, если то , где элемент из Отсюда и, значит, . Из следует:

Наконец, третье утверждение теоремы очевидно: произвольным смежным классам из фактор-группы отвечают в Н элементы а произведению классов, в силу формулы

отвечает что и требовалось доказать.

Теорема о гомоморфизмах показывает, что каждый гомоморфный образ Н группы изоморфен соответствующей фактор-группе Таким образом, с точностью до изоморфизма все гомоморфные образы заданной группы исчерпываются ее различными фактор-группами.