Глава XIX. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Возникновение и развитие в XX в. функционального анализа обусловлено в основном двумя причинами. С одной стороны, появилась необходимость осмыслить с единой точки зрения богатейший фактический материал, накопленный в различных, часто мало связанных между собой, разделах математики в течение XIX в. При этом основные понятия функционального анализа возникали и выкристаллизовывались с разных сторон и по разным поводам. Многие из основных понятий функционального анализа появились естественным образом в процессе развития вариационного исчисления, в задачах о колебаниях (при переходе от колебаний систем с конечным числом степеней свободы к колебаниям сплошных сред), в теории интегральных уравнений, в теории дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными (в краевых задачах, в задачах о собственных значениях и т. д.), при развитии теории функций действительного переменного, в операционном исчислении, при рассмотрении задач теории приближения функций и др. Функциональный анализ позволил понять с единой точки зрения многие имеющиеся в этих областях результаты и часто способствовал получению новых. Подготовленные при этом понятия и аппарат были использованы в последние десятилетия в новом разделе теоретической физики — в квантовой механике.
С другой стороны, изучение математических проблем, связанных с квантовой механикой, явилось переломным моментом в ходе дальнейшего развития самого функционального анализа и сформировало и формирует в настоящее время основные направления его развития.
Функциональный анализ еще далек от своего завершения. Однако несомненно, что и в дальнейшем его развитии задачи и цотребности современной физики будут иметь для него такое же значение, какое классическая механика имела для возникновения и развитая в XVIII в. дифференциального и интегрального исчисления.
Мы далеки от мысли охватить в этой главе все, хотя бы основные, вопросы функционального анализа. Многие важные разделй остались за пределами этой статьи. Мы хотели тем не менёе, ограничившись
несколькими избранными вопросами, познакомить читателя с некоторыми основными понятиями функционального анализа и проиллюстрировать по мере возможности те связи, о которых мы здесь упомянули. Эти вопросы по существу разобраны в начале XX в. в основном в классических работах Гильберта — одного из основоположников функционального анализа. С тех пор функциональный анализ очень сильно развился и широко применяется почти во всех разделах математики: в дифференциальных уравнениях в частных производных, в теории вероятностей, в квантовой механике, в квантовой теории полей и т. д. К сожалению, это дальнейшее развитие функционального анализа здесь не отражено. Для того, чтобы описать это дальнейшее развитие нужно было бы написать отдельную большую статью и мы ограничиваемся поэтому одним из наиболее старых вопросов — теорией собственных функций.
