Алгебра матриц.

Выше указывалось, что в продолжение первого периода развития теории гиперкомплексных систем главное внимание обращалось на исследование отдельных систем, по тем или иным причинам вызывавших особый интерес исследователей. Некоторые из этих систем были уже нами разобраны. Примерно в середине прошлого века начались исследования алгебры матриц, играющей ныне основную роль в общей теории алгебр. Мы здесь напомним кратко определения действий с матрицами (см. главу XVI, § 1).

Матрицей над полем Р называется совокупность элементов этого поля, расположенных в виде прямоугольной таблицы. Две матрицы называются равными, если равны их элементы, стоящие на соответственных местах. Здесь мы будем рассматривать только квадратные матрицы, число строк которых равно числу их столбцов. Число строк квадратной матрицы или равное ему числу столбцов называется порядком матрицы.

Чтобы сложить две матрицы одинакового порядка, складывают их соответственные элементы. Умножение числа на матрицу по определению означает умножение на это число всех элементов матрицы. Действие умножения матрицы на матрицу определяется более сложно: произведением двух матриц порядка называется матрица того же порядка, у которой элемент, стоящий в строке и столбце, равен сумме произведений элементов строки первой матрицы на соответственные элементы столбца второй. Например:

Причины, по которым определение перемножения матриц выбрано именно так, были изложен в главе XVI.

В силу указанных определений матрицы порядка с элементами из какого-либо поля Р образуют систему величин, которые можно складывать, умножать на элементы поля Р и перемножать между собой. Несложные вычисления показывают, что свойства 1—10, определяющие алгебру, здесь выполняются. Кроме того, легко доказывается, что умножение матриц подчиняется ассоциативному закону. Поэтому система всех матриц данного порядка с элементами из заданного поля Р образует ассоциативную алгебру над этим полем.

Очевидно равенство

показывает, что четыре матрицы, стоящие в правой части, образуют базис алгебры матриц порядка. Вообще, обозначая через матрицу, У которой в строке и столбце стоит 1, а остальные места заняты нулями, будем иметь равенство

показывающее, что матрицы образуют базис алгебры матриц порядка. Так как число матриц равно то ранг алгебры матриц также равен Таблица умножения базисных матриц имеет вид

Алгебра матриц содержит единицу, роль которой играет единичная матрица.