§ 7.4. Системы с переменной структурой

К системам с переменной структурой (СПС) относят системы, структурная схема которых изменяется при переходе изображающей точки через границы некоторых заранее установленных областей фазового пространства. Примерами систем с переменной структурой являются релейные системы, замыкающие или размыкающие часть схемы при переходе через линии

Рис. 7.22

переключения. В системах с переменной структурой возможно при определенных условиях получать виды движения — более высокого качества, чем в любой из отдельно взятых структур, образующих СПС. Один из способов построения СПС состоит в «сшивании» желаемым образом отдельных областей фазового пространства. Так, в рассмотренной выше системе с сухим постоянным трением благодаря смещению фазовых полуплоскостей замкнутые траектории превратились в траектории, скручивающиеся к отрезку покоя. Еще более быстрое затухание при схождении траекторий уже не к отрезку покоя, а к началу координат, т. е. при более высокой точности управления, имело место в системе с переменным сухим трением. Упомянутые две системы можно рассматривать как системы с переменной структурой, в которых переход от одной структуры к другой обусловлен внутренними физическими законами, действующими в данной системе. Любая из них может быть воспроизведена искусственно путем введения в систему переключающих логических элементов. На рис. 7.22 показана СПС — аналог системы с переменным сухим трением. Схема состоит из двух интегрирующих элементов, усилителей с коэффициентами усиления и и двухпозиционного поляризованного реле Р, питаемого от блока произведения П. Реле реагирует на знак произведения и осуществляет переключение цепи обратной связи по закону

причем Уравнения системы

и условия переключения подобны (7.10).

Другой способ состоит в получении вырожденных движений по совокупности устойчивых фазовых траекторий. Если для нёкоторой

которой линейной подструктуры существует хотя бы один действительный отрицательный корень характеристического уравнения, то существует и соответствующая этому корню совокупность устойчивых движений, занимающая в фазовом пространстве некоторое подпространство.

Пусть характеристическое уравнение имеет левых и правых корней. Тогда решение однородного уравнения таково:

где — произвольные постоянные, соответствующие правым корням.

Выбирая соответствующим образом начальные условия, всегда можно обратить в нуль любую из произвольных постоянных. Выберем их так, чтобы все обратились в нуль. Тогда оставшиеся члены образуют совокупность устойчивых движений:

Если за фазовые координаты приняты х и ее производные до включительно, то первые координат удовлетворяющие (7.20), будут линейно зависимыми и образуют подпространство, попав в которое изображающая точка будет двигаться в нем к состоянию равновесия.

Можно далее обратить в нуль и некоторые тогда порядок подпространства понижается. Если обращены в нуль все кроме одной то подпространство вырождается в линию, проходящую через начало координат. Такая прямая имеется на рис. 7.12 и 7.16 и соответствует частному решению с отрицательным действительным корнем. Если оставить отличными от нуля две постоянные С, и соответствующие либо паре действительных, либо паре сопряженных комплексных левых корней, то подпространство вырождается в плоскость, вид траекторий в которой соответствует рис. 7.16 при действительных и рис. 7.15 при комплексных корнях. Подбирая соответствующим образом законы переключения, можно обеспечить обязательное попадание изображающей точки в подпространство

Рис. 7.23

устойчивых движений. Проиллюстрируем это на простом примере (рис. 7.23). Уравнения системы

Фазовые траектории для верхнего и нижнего знаков показаны соответственно на рис. 7.12 и 7.8. Выбираем в качестве линий переключения линию (устойчивую асимптоту) и ось ординат Поляризованное реле реагирует на величину

Движение показано на рис. 7.24. Если оно началось в точке А о, то идет сначала по неустойчивой гиперболической фазовой траектории, затем по пересечении оси у переходит на эллиптическую, и попав на линию — подпространство вырожденных устойчивых движений, проходит по ней до точки равновесия. Небольшие промахи при переключении, смещающие изображающую точку с прямой (точка А3), не нарушают устойчивости. Более сложные примеры рассматриваются в специальной литературе.

Весьма интересные свойства имеют СПС, в которых вырожденные движения создаются по искусственным линиям, получаемым с помощью подбора законов переключения подпространств,

Рис. 7.24

Рис. 7.25

не являющихся совокупностью фазовых траекторий системы. Частным случаем такой СПС является релейная система с линейной частью в виде двух интеграторов. На рис. 7.25 показана простейшая релейная система. Ее линейная часть, состоит из двух включенных последовательно идеальных интеграторов, нелинейным элементом (НЭ) является реле. Если реле заменить линейным усилителем с характеристикой замкнутая система будет линейной консервативной с фазовым портретом в виде семейства концентрических эллипсов. Уравнения релейной системы

Уравнение фазовой траектории .

В случае идеального реле с характеристикой 7 (см. рис. 7.6)

Тогда из (7.21) получим

Верхний знак соответствует правой, нижний — левой полуплоскости. Ось ординат является линией переключения. Фазовые траектории — замкнутые кривые, образованные отрезками парабол (рис. 7.26). Введение зоны нечувствительности приводит к появлению отрезка покоя и полосы, образованной линиями

Рис. 7.26

Рис. 7.27

Рис. 7.28

переключения , внутри которой отрезки траекторий горизонтальны (рис. 7.27). При наличии гистерезиса процесс расходится (рис. 7.28).

Стабилизировать подобную систему можно, охватив релейный элемент отрицательной обратной связью по производной выходной величины. В данной схеме этой производной равна промежуточная координата по которой и вводится обратная связь (рис. 7.29).

Для случая идеального реле получаем:

Линия переключения (рис. 7.30) представляет собой прямую, проходящую через начало координат и наклоненную к оси абсцисс под углом На линии переключения можно выделить три характерных участка, разграниченных точками касания А и В линии переключения с показанными пунктиром параболами. За пределами отрезка АВ фазовая траектория

Рис. 7.29

по одну, сторону линии переключения после перехода через последнюю является продолжением траектории по другую сторону линии. Внутри отрезка фазовые траектории подходят к отрезку с двух сторон, встречаясь на нем. Попав на отрезок АВ, изображающая точка уже не сможет сойти с него, но не может и остаться на нем.

Скорость движения на АВ не определена, но специальные исследования показывают, что она конечна и по значению колеблется вблизи значения ординаты точки. Изображающая точка будет скользить по отрезку к началу координат — точке равновесия типа устойчивого узла. Отрезок АВ называют линией скольжения.

Уравнение движения вдоль линии скольжения

Как видно из уравнения, движение совершенно не зависит от параметров линейной части и определяется только линией переключения, т. е. обратной связью. Это исключительно важное обстоятельство используется при построении многих систем с переменной структурой.

На самом деле точное движение по линии скольжения невозможно, оно может иметь место лишь при мгновенном срабатывании реле. Немгновенность его действия приводит к появлению следующих друг за другом с большой частотой замыканий и размыканий, т. е. к появлению высокочастотных вибраций вокруг линии скольжения. В электрических реле это приводит

Рис. 7.30

к обгоранию контактов. Поэтому вначале после обнаружения скользящих режимов они считались вредными и изыскивались пути их предотвращения. С появлением бесконтактных реле скользящие режимы стали создаваться искусственно с целью обеспечения заданного качества процесса управления при сильно изменяющихся параметрах объекта.

Искусственно созданные скользящие движения интересны тем, что закон движения в них определяется не исходными уравнениями, т. е. не параметрами объекта, а параметрами искусственно созданного подпространства скольжения.

Системы с переменной структурой позволяют получать ускорение протекания переходных процессов, повышать статическую и динамическую точность управления, противодействовать влиянию внешних и параметрических возмущений.

В 1972 г. цикл работ по теории систем с переменной структурой был удостоен Ленинской премии.

Многолистная фазовая плоскость. Если характеристика нелинейного элемента неоднозначна, уравнение можно представить как совокупность уравнений с однозначными функциями и каждому из уравнений этой совокупности поставить в соответствие некоторую определенную часть — «лист» фазовой плоскости. Листы эти могут частично накладываться, тогда имеем дело с многолистной фазовой поверхностью.

На рис. 7.31 показаны фазовые траектории для уравнений

Подобными уравнениями описывается, например, движение объекта первого порядка без самовыравнивания при управлении сервомотором постоянной скорости при наличии зазора 2е между чувствительным элементом и золотником. В этом случае фазовые траектории представляют собой параболы, расположенные на двух листах: лист а соответствует первому уравнению и лист б (заштрихован) — второму. Листы накладываются так, что их оси х и у совпадают. Разрежем листы по линиям переключения и отрезку оси х и наложим их друг на друга (рис. 7.31, в). Правее линий разветвления А А и через которые происходит переход с одного листа на другой, сверху лежит лист левее их — лист а. На рисунке сплошной линией показана траектория, начинающаяся в точке М нижнего листа. В полосе точка может принадлежать обоим листам и, чтобы найти движение,

Рис. 7.31

начинающееся в этой полосе, надо дополнительно указать, какому листу принадлежит начальная точка, т. е. кроме значений в момент указать также знак производной . Так, если точка М лежит на листе при положительна), то движение пойдет по линии показанной пунктиром, поскольку она лежит на нижнем листе, и далее по траектории если же точка М принадлежит листу , то движение пойдет по траектории