Исследование цифровых систем методом логарифмических частотных характеристик.

Следует иметь в виду, что свойства трансцендентности и периодичности препятствуют при исследовании ЦС и систем с АИМ использованию логарифмических частотных характеристик.

Метод ЛЧХ может быть разработан на основе -преобразования, которое, как было показано в предыдущем параграфе, отображает полуполосы плоскости в левую полуплоскость переменной

Рассмотрим -преобразование более подробно, для чего запишем его в форме

Полагая получаем

Так как правая часть данного равенства — мнимая величина, то и левая часть будет величиной мнимой. Вводя обозначение получим

откуда .

При изменении от 0 до значения со изменяются от 0 до . Так как , то имеет место также соотношение

Переменную со называют безразмерной псевдочастотой. Однако при исследовании ЦС в ряде случаев более удобна размерная псевдочастота которую введем с помощью соответствия Принимая во внимание это равенство, получаем

откуда следует, что при изменении от 0 до псевдочастота принимает значение Ниже будем пользоваться -преобразованием, связанным с размерной псевдочастотой и записанным в виде соотношения

Используя результаты § 8.2, уравнение динамики разомкнутой ЦС (без учета звена квантования по уровню) запишем в виде (рис. 8.29)

Если теперь в уравнение (8.68) вместо переменной ввести переменную в соответствии с соотношением (8.67), то получим записанное через -преобразование уравнение динамики разомкнутой

Передаточная функция позволяет использовать для анализа и синтеза ЦС логарифмические частотные характеристики. При этом ЛЧХ, соответствующие частотной характеристике разомкнутой , определяются теми же соотношениями, что и для обычных непрерывных систем:

Используя ЛЧХ, полученные в соответствии с соотношением (8.70), можно сформулировать, например, логарифмический частотный критерий устойчивости для ЦС и систем с АИМ, являющийся аналогом соответствующего критерия для непрерывных систем: система, устойчивая в разомкнутом состоянии, устойчива и в замкнутом состоянии, если число переходов фазовой частотной характеристикой разомкнутой системы через ось сверху вниз равно числу переходов снизу вверх в интервале частот, где логарифмическая амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы неотрицательная. Для удобства конкретных инженерных расчетов, когда требуется переход от оригиналов к изображениям с помощью дискретного преобразования Лапласа, целесообразно пользоваться соответствующими таблицами, приведенными, например, в [1]. Аналогичными таблицами целесообразно пользоваться и для определения передаточных функций отдельных элементов ЦС в -преобразованном виде. В табл. 8.1 приведены решетчатые функции и их изображения, а в табл. 8.2 — передаточные функции разомкнутых импульсных систем с прямоугольными импульсами.