Особые задачи

Как отмечалось, в гамильтониане сопряженную координату обычно выбирают равной Однако встречаются задачи, в которых оптимальным управлению и траектории соответствует Такие задачи называют особыми.

Примером особых задач могут быть неудачно сформулированные задачи оптимального управления, например такие, решение которых не зависит от критерия оптимальности или имеет только одно возможное допустимое управление. Для последних задач не существует возможности выбора наилучшего решения и сама постановка задачи об оптимальном управлении становится бессодержательной.

Пример 10.10. В качестве примера рассмотрим задачу где — скалярные величины.

Составим гамильтониан Н и сопряженное уравнение:

Из последнего уравнения получаем

В соответствии с принципом максимума если и — оптимальное управление их — оптимальная траектория, то

причем

Возможное допустимое управление — кусочно-непрерывная функция, удовлетворяющая поставленному ограничению и переводящая точку из за время в точку — единственно и равно . Так как других возможных управлений нет, оно и должно быть решением задачи: При этом и по принципу максимума должно быть . Легко проверить, что если то последнее неравенство выполняется при всех значениях константы С 0. Но при нельзя подобрать С так, чтобы последнее неравенство выполнялось при всех допустимых управлениях. Следовательно, в данной задаче оптимальному решению соответствует