Исследование качества систем с амплитудно-импульсной модуляцией.

При исследовании качества систем автоматического управления возникают, как правило, три рода задач: 1) оценка установившегося значения сигнала ошибки системы

Рис. 8.19

Рис. 8.20

(установившееся значение отклонения входного сигнала импульсного элемента х (см. рис. 8.12); 2) построение кривой переходного процесса в моменты съема косвенная оценка параметров переходного процесса, в первую очередь оценка перерегулирования и времени регулирования.

Рассмотрим задачу оценки установившегося сигнала ошибки системы. Сигнал на входе импульсного элемента и входной сигнал системы (см. рис. 8.12) связаны соотношением (8.35):

Запишем передаточную функцию (8.35) в виде отношения двух многочленов , где — многочлен степени — характеристический многочлен степени . Предположим, что имеет вид единичного скачка, т. е.

Тогда сигнал в дискретные моменты времени будет определяться выражением

где

Если система устойчива, то действительные части корней характеристического уравнения отрицательны и все слагаемые в (8.51) с ростом будут стремиться к нулю. Таким образом,

Значение (8.52) характеризует установившееся значение ошибки в системе с АИМ. Значение , если и обращается в нуль в астатической системе, т. е. в том случае, когда в контуре системы имеется интегрирующее звено (например, исполнительный элемент). Это несложно показать, если проанализировать соотношение (8.52) с учетом (8.32).

Задачу построения кривой переходного процесса можно решить с помощью соотношения (8.51), однако данный подход весьма неудобен уже при степени характеристического уравнения поскольку требует вычисления корней уравнения

Рассмотрим предложенные в [1] более удобные способы, не требующие вычисления корней и позволяющие построить процесс при любом внешнем воздействии.

Пусть передаточная функция замкнутой системы представлена в виде

Разлагая ее в ряд по степеням и применяя обратное дискретное преобразование Лапласа, можно получить

где коэффициенты определяются из рекуррентного соотношения:

Выражение (8.54) позволяет определить процесс регулирования (для ) при любой форме . Если имеет вид единичного скачка, то Равно единице при и нулю при а значения процесса находятся суммированием коэффициента

Рис. 8.21

Рис. 8.22

Второй способ построения кривой переходного процесса основан на использовании частотных характеристик. По известной строится вещественная частотная характеристика . Если представить ее в виде суммы типовых трапецеидальных характеристик (рис. 8.21), то искомую величину можно выразить в виде

Здесь — площадь трапеции. Параметры произвольной трапеции обозначены на рис. 8.22. Пользуясь таблицами определяем а затем по соотношению (8.54) строим кривую переходного процесса

Косвенные методы оценки показателей качества процесса регулирования в системах с АИМ играют такую же важную роль, как и в системах непрерывного регулирования. Рассмотрим следующие основные косвенные оценки: степень устойчивости, степень колебательности и интегральные оценки.

Степенью устойчивости будем называть минимальную вещественную часть корня характеристического уравнения замкнутой системы:

Так как исследуемые процессы выражаются в функции относительного времени то и степень устойчивости является относительной величиной. Примем обозначение для абсолютной величины степени устойчивости , т. е. Для определения степени устойчивости достаточно в передаточную

функцию разомкнутой системы подставить вместо и полученную таким образом передаточную функцию рассматривать как передаточную функцию некоторой «фиктивной» системы, граница устойчивости которой соответствует линии, равной степени устойчивости исследуемой системы.. Задача, таким образом, сводится к тому, чтобы определить параметры, при которых «фиктивная» система находится на границе устойчивости. В этом случае исследуемая система будет иметь заданную степень устойчивости. Исследование системы с позиций устойчивости может быть проведено по любому из приведенных выше критериев.

Рассмотрим случай, характерный именно для систем с АИМ. Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы

Если параметры системы таковы, что выполняется условие

то

Так как корни уравнения (8.60) равны то степень устойчивости рассматриваемой системы равна бесконечности. Если известна передаточная функция разомкнутой системы

то условие бесконечной степени устойчивости, аналогичное (8.59), можно записать с учетом (8.59), (8.61):

Физически бесконечная степень устойчивости означает, что при возмущениях типа единичного скачка процесс регулирования заканчивается за конечное число тактов работы импульсного элемента. Действительно, если справедливо соотношение (8.59), то из рекуррентного соотношения (8.55) получаем

В этом случае в соответствии с формулой (8.54) принимает значение

Очевидно, что при не зависит от . В частности, если то при Рассмотренное свойство систем с АИМ можно использовать при построении оптимальных по быстродействию систем. Принципиально можно добиться того, чтобы переходный процесс заканчивался за один такт работы импульсного элемента.

Степенью колебательности устойчивой импульсной системы будем называть абсолютную величину отношения мнимой части ближайшего к оси корня характеристического уравнения к действительной части (рис. 8.23), т. е.

При расчете степени колебательности можно Пользоваться тем же подходом, что и при расчете степени устойчивости. Разница состоит в том, что в передаточную функцию системы подставляется

Применяя для исследования устойчивости «фиктивной» системы один из известных критериев, можно определить, обладает ли данная система заданной величиной или подобрать параметры системы, при которых равно заданной величине. Отметим, что степень колебательности относится к дискретным значениям процесса в моменты съема.

Связь с показателями качества переходного процесса (в частности, с перерегулированием и временем регулирования) подробно рассмотрена в гл. 4 при исследовании качества линейных непрерывных систем.

Рис. 8.23

Интегральные оценки. Динамические свойства переходного процесса в системе с АИМ, возникающего от воздействия вида единичного скачка, по аналогии с непрерывными системами можно охарактеризовать интегральными оценками вида

Оценка выражает собой площадь, заключенную между графиком ступенчатой функции, образующейся из решетчатой функции и графиком ее установившегося значения, т. е. площадь отклонения ступенчатой функции от ее предельного значения. Эта площадь на рис. 8.24 показана штриховкой. Очевидно, что оценку следует применять только к неколебательным процессам. Используя теорему о площади [1], выражение для вычисления оценки при можно получить в виде

Оценку можно использовать и для колебательных процессов. Вычисляют непосредственно по коэффициентам передаточной функции замкнутой системы. Для воздействия вида единичного скачка полиномы числителя и знаменателя передаточной функции запишутся в виде

тогда при

при

Оценку можно также определить, пользуясь частотной характеристикой замкнутой системы:

Рис. 8.24

т. е. оценка равна площади квадрата модуля