Принцип оптимальности

В общем виде этот принцип можно сформулировать следующим образом: оптимальная стратегия (поведение) обладает тем свойством, что, каковы бы ни были начальное состояние и решения на начальном этапе, решения на последующем этапе должны составлять оптимальную стратегию относительно состояния, которое получается в результате принятия решений на начальном этапе.

В задачах оптимального управления оптимальность определяется функционалом (критерием оптимальности) состояние — фазовым вектором стратегия — это управление и на всем интервале решение — это выбор управления.

Для задачи оптимизации справедлив принцип оптимальности, если она обладает марковским свойством или, как еще говорят, оптимизационный процесс является марковским. По определению, задача оптимального управления обладает марковским свойством, если после выбора управления на интервале влияние процесса управления на оставшемся интервале на величину функционала зависит только от состояниях в конце начального интервала и выбора управления в последующие моменты времени, т. е. на интервале

Чтобы сформулировать принцип оптимальности применительно к задачам оптимального управления, рассмотрим задачу

Условимся функцию на интервале обозначать и . Если интервал слева или справа является открытым, то соответственно слева или справа будем писать круглую скобку:

Для задачи (10.63) справедлив принцип оптимальности, и он может быть сформулирован следующим образом: для оптимальности допустимой для задачи (10.63) пары необходимо, чтобы при любом управление было оптимальным относительно состояния в котором окажется объект в момент при использовании на начальном отрезке времени управления . Этот принцип оптимальности иногда также будем называть прямым, принципом оптимальности.

Это утверждение легко доказывается от противного. Допустим, что оно неверно и существует допустимое управление переводящее объект из точки в точку , в момент при котором функционал

принимает меньшее значение, чем при управлении т. е.

Тогда критерий оптимальности в задаче (10.63) при управлении

принимает меньшее значение, чем при управлении и т. е.

а это противоречит, оптимальности управления

Принцип оптимальности для задачи оптимального управления является частным случаем следующего более общего утверждения: если допустимая для задачи (10.63) пара оптимальна, то, каков бы ни был подынтервал , управление на этом подынтервале является оптимальным относительно граничных точек . Это утверждение доказывается точно так же, как и принцип оптимальности. В частном случае, когда , приведенное утверждение называют обратным принципом оптимальности [7]. Приведем несколько иную формулировку этого принципа.

Обратный принцип оптимальности. Для оптимальности допустимой для задачи (10.63) пары необходимо, чтобы при любом управление и на этом подынтервале является оптимальным относительно граничных точек Это утверждение доказывается точно так же, как и принцип оптимальности. В частном случае, когда приведенное утверждение называют обратным принципом оптимальности Приведем несколько иную формулировку этого принципа.

Обратный принцип оптимальности. Для оптимальности допустимой для задачи (10.63) пары необходимо, чтобы при любом управление и было оптимальным относительно конечного для интервала состояния