Задача с подвижными концами

Рассмотрим следующую задачу Больца:

функции непрерывны и непрерывно дифференцируемы. Функции обладают такими же свойствами, что и в задаче (10.47).

Используя прием Лагранжа, эту задачу можно свести к следующей простейшей вариационной задаче:

где

Дальше, как и в случае задачи с закрепленными концами, последняя задача расщепляется на две и получаются необходимые условия в форме принципа максимума. Допустимая пара для задачи (10.55) определяется так же, как и для задачи (10.47).

Принцип максимума.

Для того чтобы допустимая для задачи (10.55) пара былаее решением, необходимо:

1) существование таких не обращающихся одновременно в нуль константы констант и решения сопряженной системы (10.52) при что при любом кроме точек разрыва функция. достигает при максимума, т. е. выполняется соотношение (10.54);

2) выполнение условия трансверсальности (10.45), (10.46). Рассмотрим, какова связь между принципом максимума и методом множителей Лагранжа. Функция Понтрягина (гамильтониан) (10.48) отличается от гамильтониана, введенного в предыдущем параграфе, тем, что в ней не учтено ограничение

на управление. Сопряженные уравнения (10.52) совпадают с уравнениями Эйлера—Лагранжа (10.33), если фазовое ограничение отсутствует (функция от фазовых координат не зависит). Они не содержат уравнений Эйлера—Лагранжа (10.34), которые определяют условия стационарности. Вместо них имеется условие максимума (10.54). Если ограни: чение на управление задается в виде соотношений типа равенства, то, используя метод неопределенных множителей Лагранжа нахождения экстремума функции, из (10.54) получим недостающие уравнения Эйлера—Лагранжа.

Пример 10.4. Пусть при наличии ограничения на управление требуется повернуть вал двигателя за заданное время Т на максимальный угол. Эта задача формализуется следующим образом:

Сначала попытаемся решить эту задачу методом множителей Лагранжа. Для этого преобразуем ее к задаче классического типа. Представим ограничение на управление в виде двух неравенств:

Введем переменные и заменим эти неравенства равенствами и Перемножив последние равенства и положив получим

Таким образом, введением только одной дополнительной переменной ограничение типа неравенства преобразовано в эквивалентное ограничение типа равенства. Гамильтониан для преобразованной задачи имеет вид

Выпишем уравнения Эйлера—Лагранжа и условия трансверсальности:

Отсюда

Так как управление ограничено, то , поэтому из уравнений Эйлера—Лагранжа (последнего) получаем и из уравнения ограничения и Однако, проинтегрировав исходные уравнения с учетом краевых условий на левом конце, убеждаемся, что на одно из управлений не обеспечивает выполнения краевого условия на правом конце Это означает, что решение задачи надо искать в классе кусочно-постоянных управлений, удовлетворяющих уравнениям Эйлера—Лагранжа во всех точках интервала [0, Т], за исключением точек разрыва управления. Однако число и местоположение точек разрыва методами классического вариационного исчисления определить не удается.

Теперь попытаемся решить эту задачу, используя принцип максимума Функция Понтрягина

Сопряженные уравнения совпадают с первыми двумя уравнениями Эйлера—Лагранжа, поэтому с учетом условий трансверсальности имеем Из условия максимума

следует, что оптимальное управление принимает только крайние значения (а или —а) и его знак всюду в точках непрерывности совпадает со знаком функции

Так как линейная функция может изменить знак на интервале не более одного раза, то оптимальное управление

или

Но по условию задачи нужио повернуть вал двигателя на максимальный (положительный) угол. Поэтому оптимальным может быть только первое из двух приведенных управлений. Остается определить точку переключения (разрыва) управления. Проинтегрируем уравнения объекта при выбранном управлении с учетом начальных условий (краевых условий на левом конце траектории):

Используя непрерывность т. е. равенство можно представить

Из краевых условий на правом конце траектории получаем Итак, окончательно для оптимального управления имеем