Синтез оптимальной линейной системы при квадратном критерии
Пусть объект описывается линейным уравнением
и задан квадратичный критерий оптимальности
где 
— известная векторная функция; 
— симметричные неотрицательно-определенные матрицы 
симметричная, положительно-определенная матрица 
Требуется найти оптимальное управление с обратной связью, т. е. управление, при котором критерий (10.259) принимает минимальное значение при произвольном начальном условии 
. Критерий (10.259) имеет такой же физический смысл, что и критерий (10.121) в непрерывном случае.
Оптимальное управление с обратной связью имеет следующий вид:
Здесь
где 
симметричная неотрицательно-определенная матрица, определяемая из уравнения
при граничном условии
— вектор-столбец размера 
, определяемый из уравнения
при граничном условии
Когда объект задается уравнением
т. е. 
, то оптимальное управление с обратной связью принимает вид
где 
определяется из (10.261), а неотрицательно-определенная матрица 
из (10.262), (10.263). Действительно, при 
уравнение (10.264) становится однородным и в силу граничного условия (10.265) его решением является 
Для доказательства полученного решения (10.260)-(10.265) воспользуемся методом динамического программирования. Введем функцию Беллмана:
Уравнение Беллмана имеет вид
Используя уравнение объекта (10.258) и опуская для краткости записи аргумент 
получим
Решение этого уравнения будем искать в виде
где 
симмегричная матрица; 
— вектор-столбец размера 
— скалярная функция.
В силу граничного условия (10.267) имеем:
Таким образом, получили граничные условия (10.263) и. (10.265).
Подставим (10.269) в (10.268). Тогда получим 
Правая часть полученного соотношения как функция от управления является матричным квадратным трехчленом, причем квадратный член имеет вид 
и и является положительно-определенной квадратичной формой, так как, по условию, 
и, как будет показано дальше, 
Поэтому указанный трехчлен имеет минимум, который достигается в стационарной точке, и последнее уравнение можно представить в виде следующей эквивалентной системы уравнений:
Из последнего уравнения имеем
откуда, произведя транспонирование, получим соотношение для оптимального управления (10.260). Подставив выражение для управления и используя обозначение (10.261), уравнение (10.271) можно преобразовать к виду
Из последнего уравнения, приравняв отдельно матрицы при квадратичных и линейных относительно х членах, получим соотношения (10.262) и (10.264). Приравняв свободные члены, получим уравнения
Теперь докажем, что матрица К является неотрицательноопределенной. Как отмечалось, функция 
при 
Уравнение (10.272) при 
становится линейным однородным и имеет единственное решение 
удовлетворяющее граничному условию (10.270), поэтому при 
функция (10.269) принимает вид
и соответственно матрицы 
при любом 
Но так как уравнение (10.262), из которого находится матрица 
не зависит от 
то сказанное остается справедливым и при произвольной функции 
