Графоаналитическое определение дисперсии ошибки.

Для систем автоматического управления при аналитический метод нахождения дисперсии ошибки становится довольно громоздким, поэтому в инженерной практике в таких случаях широко применяют графоаналитический метод. Этот метод особенно удобен в том случае, когда спектральные плотности полезного сигнала и помехи, а также амплитудно-частотные характеристики системы заданы графически.

Поясним сущность этого метода применительно к вычислению составляющей дисперсии ошибки от действия помехи. Рассмотрим, например, рис. 9.14, на котором приведены замкнутой системы связывающая ошибку с помехой, и график спектральной плотности помехи

Возводя в квадрат ординаты кривой вычисляем и строцм график Перемножая затем ординаты при одних и тех же частотах получим, график спектральной плотности ошибки После этого определяем значение интеграла для чего подсчитываем величину

площади, заключенной между кривой и осью абсцисс.

Составляющую дисперсии ошибки от действия помехи в соответствии с (9.89) определяем путем деления полученной площади на т. е.

Аналогично можно найти другие составляющие дисперсии ошибки, например от действия полезного сигнала и т. д. Суммируя эти составляющие, находим в соответствии с (9.93) дисперсию ошибки .

Как видно из рис. 9.14, величина составляющей дисперсии ошибки зависит от взаимного расположения графиков . При совпадении максимумов этих характеристик величина площади, заключенной между кривой и осью абсцисс, а следовательно, и величина составляющей дисперсии ошибки оказывается большей и, наоборот, разнесение этих максимумов выбором параметров системы приводит к уменьшению дисперсии ошибки.

Таким образом, графоаналитический метод, отличаясь простотой и наглядностью, позволяет указать, как следует изменить частотные характеристики системы, чтобы при заданных спектральных плотностях внешних воздействий уменьшить дисперсию ошибки системы.

Если при расчете системы автоматического управления пользуются логарифмическими частотными характеристиками, то составляющую спектральной плотности ошибки, соответствующую, например, помехе, в этом случае можно вычислить следующим образом. По известным ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы находят ЛАХ замкнутой системы , а затем ее значение удваивают, т. е. определяют . Значение суммируют с величиной

Спектральная плотность ошибки

По известной спектральной плотности определяют затем составляющую дисперсии Аналогично определяют остальные составляющие дисперсии ошибки.

Пример 9.1. На входе замкнутой следящей системы с единичной обратной связью (см. рис. 9.13) действует случайный полезный сигнал имеющий спектральную плотность а на входе разомкнутой системы действует случайная помеха

типа «белый шум», спектральная плотность которой Корреляция между полезным сигналом и помехой отсутствует. Передаточная функции разомкнутой следящей системы

Определить среднюю квадратическую ошибку системы при

Заметим, что в данном случае внешние воздействия не содержат регулярных составляющих и в соответствии с (9.97) средняя квадратическая ошибка совпадает с дисперсией ошибки

1. Находим передаточные функции замкнутой системы по ошибке и регулируемой величине:

2. Спектральнаи плотность ошибки в соответствии с (9.92) с

3. Находим составляющую среднего квадрата ошибки (совпадающую в данном случае с составляющей дисперсии ошибки обусловленную полезным сигналом:

Сравнивая полученное выражение с видом подынтегральной функции (9.101), можно выписать полиномы , т. е.

следовательно, коэффициенты равны

Полином должен быть записан в виде

в данном случае поэтому

и следовательно, коэффициенты равны Из приложения 9.1 для находим значение стандартного интеграла т. е.

Окончательно получаем

4. Находим составляющую среднего квадрата ошибки (совпадающую в данном случае с составляющей дисперсии ошибки обусловленную помехой:

Сравнивая последнее выражение с видом подынтегральной функции (9.101), выписываем полиномы е.

следовательно, коэффициенты а; равны Полином должен быть записан в виде

В данном случае поэтому следовательно, коэффициенты 6 равны Из приложения 9.1 для находим

Окончательно получаем

5. Находим результирующее значение среднего квадрата ошибки равное в данном случае дисперсии ошибки

Подставляя числовые значения параметров, получаем

Среднее квадратическое отклонение ошибки

Рис. 9.15

Пример 9.2. Решить предыдущую задачу графоаналитическим методом.

1. Находим выражение для спектральной плотности ошибки:

Подставляя числовые значения параметров, получаем

Задавая различные значения в пределах от 0 до 20, вычисляем и записываем результаты:

2. Строим график (рис. 9.15), разбивая который на типовые фигуры (прямоугольники, треугольники, трапеции) находим величину площади ограниченной кривой и осью абсцисс:

3. Определяем среднее значение квадрата ошибки, равное в данном случае дисперсии ошибки:

и среднеквадратическое отклонение ошибки:

Следует отметить, что рассмотренная выше задача быстрее и проще решается аналитическим методом, который к тому же позволяет установить аналитическую связь между величиной средней квадратической ошибки и параметрами системы. Приближенный графоаналитический метод интегрирования спектральной плотности целесообразно применять лишь при значениях когда аналитический метод оказывается слишком громоздким.

Пример 9.3. Решить предыдущую задачу при условии, что на входе замкнутой системы действует регулярный полезный сигнал , где . Случайная помеха типа «белый шум» имеет спектральную плотность

1. Так как полезный сигнал — регулярная функция времени, то среднее значение квадрата ошибки в соответствии с (9.94)

где — динамическая составляющая ошибки, обусловленная регулярным полезным сигналом — среднее значение квадрата случайной составляющей ошибки, обусловленное случайной помехой . Величина была определена в примере 9.1, она равна

2. Определяй установившееся значение регулярной составляющей ошибки те методом коэффициентов ошибок:

Для нахождения коэффициентов ошибок разложим передаточную функцию связывающую полезный сигнал и помеху, в ряд по возрастающим степеням что удобно, например, сделать, разделив числитель выражения для на его знаменатель:

следовательно, .

В нашем случае , а все последующие производные от полезного сигнала равны нулю. Поэтому окончательно получаем

3 Находим результирующее значение среднего квадрата ошибки

Подставляя числовые значения коэффициентов, получаем

Средняя квадратическая ошибка