§ 10.6. Методы синтеза оптимальных систем с обратной связью. Синтез оптимальных линейных систем по интегральному квадратичному критерию

Метод фазовой плоскости синтеза оптимальной по быстродействию системы

Пусть задан вполне управляемый линейный стационарный объект

все корни характеристического уравнения которого действительны. Управление скалярное и подчиняется ограничению . Более общее ограничение вида где введением новой переменной всегда приводится к этому виду. Рассмотрим задачу синтеза оптимального по быстродействию регулятора, обеспечивающего перевод системы из произвольной начальной точки в начало координат.

Так как управление скалярное, условие нормальности совпадает с условием полной управляемости, поэтому выполняются все условия теоремы об интервалах. В соответствии с этой теоремой оптимальное управление, имея не более интервалов постоянства, принимает только крайние значения: —1 или 1. Если представить его как функцию фазовых. координат то ясно, что все фазовое пространство можно разбить на два подпространства: подпространство, в котором и подпространство, в котором

перповерхность кривая, при поверхность), которая делит фазовое пространство на указанные подпространства, называют гиперповерхностью (кривой, поверхностью) переключения. Если записать уравнения гиперповерхности о то, как известно из аналитической геометрии, по одну сторону от гиперповерхности переключения и по другую. Всегда (при необходимости умножением на —1) можно добиться того, чтобы функция была отрицательна в подпространстве, где и положительна в подпространстве, где Тогда, очевидно, Поэтому нахождение оптимального алгоритма управления сводится к определению функции переключения .

При для нахождения функции переключения можно воспользоваться методом фазовой плоскости. На фазовой плоскости строятся семейства фазовых траекторий, соответствующих управлениям Оптимальная траектория представляет собой часть траектории или соединение частей двух траекторий из построенных семейств. В силу граничного условия она должна оканчиваться в начале координат. Используя эти свойства оптимальных траекторий, нетрудно определить кривую переключения, а по ней — функцию переключения. Проиллюстрируем изложенное на примере.

Пример 10.19. Произведем синтез оптимального по быстродействию регулятора двигателя, описываемого уравнениями . В данном случае оптимальное управление имеет два интервала постоянства. Найдем уравнение фазовых траекторий при им . При разделив второе уравнение на первое, получаем откуда после интегрирования находим

Аналогично при находим

Семейства фазовых траекторий, соответствующие каждому из полученных уравнении, приведены на рис. 10.4; а. Оптимальная фазовая траектория должна состоять из участка траектории одного семейства, проходящей через начальную точку, и участка траектории другого семейства, проходящей через начало координат. Из сказанного следует, что переключение должно произойти на полутраекториях АО или ОВ (рис. 10.4, а). Очевидно, если вначале , то переключение должно произойти на полутраектории ВО, которая описывается вторым уравнением при

Рис. 10.4

И если вначале , то переключение должно произойти на полутраектории уравнение которой получается из первого соотношения при

фазовый портрет оптимальной системы показан на рис. 10.4, б. Уравнение линии переключения можно записать так (оно легко получается из уравнений для полутраекторий АО и ОВ):

Нетрудно проверить, что функция о отрицательна справа от линии переключения, где , а положительна слева, где поэтому Реализовать этот закон управления можно посредством устройства, схема которого приведена на рис. 10.5. В его состав входят нелинейный преобразователь Пр, вырабатывающий совместно с усилителем К значение сравнивающее устройство, формулирующее разность и поляризованное реле, на выходе которого получается оптимальное управляющее воздействие к. Объект на схеме представлен двумя интеграторами

Теперь рассмотрим, как происходит движение изображающей точки при алгоритме управления и поясним, каким образом в -мерном пространстве при наличии лишь одной -мерной гиперповерхности переключения о получается процесс, состоящий из интервалов. В случае идеального оптимального процесса все переключения

Рис. 10.5

знака управления и происходят на гиперповерхности о причем после первого переключения изображающая точка идеального оптимального процесса движется по гиперповерхности переключения. Естественно, алгоритм управления не может обеспечить такой процесс. Реальный процесс определяемый этим алгоритмом протекает следующим образом. В момент когда изображающая точка идеального оптимального процесса в первый раз попадает на гиперповерхность а и управление и меняет знак, изображающая точка х реального процесса «протыкает» гиперповерхность переключения и в момент бесконечно малая величина) оказывается по другую сторону гиперповерхности. Поэтому функция о и управление и меняют знак. Дальше до следующего момента переключения знака управления и изображающая точка х движется по «другой» стороне гиперповерхности вблизи траектории идеального процесса. И лишь каждый раз в момент, когда управление и меняет знак, точка х «протыкает» гиперповерхность переключения и функция и соответственно управление и меняют знак. Поэтому в реальном процессе управление и имеет столько переключений (интервалов постоянства знака), сколько и идеальное оптимальное управление и