Наблюдатели

Перейдем от вопроса возможности восстановления к вопросу синтеза устройства, восстанавливающего текущее значение фазового вектора. Восстановленное значение фазового вектора называется его оценкой, а устройство, обеспечивающее получение оценки по измерениям управления и и выходной переменной на интервале — наблюдателем (10]. Точнее, устройство, описываемое уравнениями

называется наблюдателем для системы

если для каждого начального состояния системы (10.105) существует такое начальное состояние для системы (10.104), что при справедливо равенство

при всех

Заметим, что для наблюдателя (10.104) управление и выходная переменная системы (10.105) являются входными переменными, а переменная — выходной переменной. Устройство, описываемое уравнением

называется наблюдателем полного порядка для системы (10.105). если при справедливо равенство

при всех

Устройство, описываемое уравнением (10.106), называется наблюдателем полного порядка, так как его порядок совпадает с порядком исходной системы. Если наблюдатель описывается уравнением более низкого порядка, чем сама исходная система, то он называется наблюдателем пониженного порядка.

Устройство, описываемое уравнением (10.106), является наблюдателем для системы (10.105) в том и только в том случае, если

где произвольная переменная во времени матрица, которую называют матрицей коэффициентов усиления. Действительно, вычитая из первого уравнения системы (10.105) уравнение (10.106) и подставив в него выражение для из (10.105), получим

Из этого уравнения следует, что если для всех то справедливо (10.107). И наоборот, если выполняется (10.107), то последнее уравнение приобретает вид

откуда следует, что для всех если

При подстановке (10.107) в уравнение (10.106) получаем уравнение наблюдателя системы (10.105):

или

Рис. 10.3

Из последнего уравнения следует, что математическая модель наблюдателя включает в себя как составные части модель исходной системы и дополнительное слагаемое, пропорциональное разности выходной переменной и ее оценки (рис. 10.3).

Из (10.109) следует, что устойчивость наблюдателя определяется матрицей Выпишем уравнение для ошибки . Из уравнения (10.108) имеем

Отсюда следует, что при независимо от начальной ошибки тогда и только тогда, когда наблюдатель является асимптотически устойчивым. Поэтому при выборе матрицы коэффициентов усиления К необходимо прежде всего позаботиться о том, чтобы наблюдатель был асимптотически устойчивым. Но от матрицы соответственно матрицы К зависит еще и качество наблюдателя, т. е. то, насколько быстро ошибка оценки стремится к нулю. Следовательно, выбор матрицы К, к которому сводится синтез наблюдателя вида (10.106), должен производиться из условия устойчивости и заданных требований к его качеству. В том случае, когда все матрицы системы и матрица коэффициентов усиления постоянны, т. е. наблюдатель является стационарным, устойчивость и качество наблюдателя зависят от расположения корней его характеристического уравнения, т. е. собственных значений матрицы на комплексной плоскости. Можно показать [10], что собственные значения матрицы могут быть произвольно размещены на комплексной плоскости путем соответствующего выбора постоянной матрицы в том и только в том случае, если исходная ситема,

т. е. пара , вполне наблюдаема. Если система не вполне наблюдаема, то можно найти такую постоянную матрицу К, при которой наблюдатель асимптотически устойчив в том и только в том случае, если система обнаруживаема.

В случае стационарного наблюдателя ошибка тем быстрее сходится к нулю, чем дальше от мнимой оси расположены корни характеристического уравнения наблюдателя на комплексной плоскости. Этого можно достичь при большой матрице коэффициентов усиления. Однако с увеличением коэффициентов усиления наблюдатель становится чувствительным к произвольным шумам измерения. Поэтому оптимальная матрица К может быть определена только с учетом реальных помех.