Стабилизируемость.

Если линейный объект не вполне управляем, то его вектор состояния можно представить в виде

где — вектор из подпространства управляемости вектор, ортогональный всем элементам из т. е. элемент из ортогонального дополнения Подпространство называют подпространством неуправляемости. Из доказательства критерия управляемости следует, что объект не может быть переведен из точки в точку если или принадлежат подпространству неуправляемости. В связи с этим возникает вопрос, всегда ли необходимо, чтобы объект был вполне управляем, если условия работы синтезируемой системы управления таковы, что она в процессе функционирования попадает в подпространство неуправляемости. Оказывается, что для синтеза устойчивой системы управления важным является не полная управляемость, а стабилизируемость.

Стационарный линейный объект

называется стабилизируемым, если в представлении неуправляемая составляющая при

Непосредственно из определения следует, что вполне управляемый объект является стабилизируемым, так как в этом случае Точно так же асимптотически устойчивый объект является стабилизируемым, так как в этом случае при когда

Если выбрана такая система координат (такой базис), что уравнение объекта принимает вид канонической формы управляемости

(10.90), то неуправляемая составляющая имеет вид Поэтому в этой системе координат в том и только в том случае, когда Из канонической формы управляемости (10.90) видно, что объект является стабилизируемым в том и только в том случае, если матрица является асимптотически устойчивым, т. е. ее собственные значения имеют отрицательные вещественные части. Стабилизируемость объекта

как и управляемость, полностью определяется матрицами А и В, поэтому используют еще следующую терминологию: пара , в которой А и В — матрицы размерности соответственно, называется стабилизируемой, если стабилизируемым является соответствующий им объект.

Пример 10.14. Исследуем управляемость объекта, описываемого уравнениями

или в матричной форме уравнением

где

Так как

то матрица управляемости

Еслн то ранг матрицы У равен и объект вполне управляем. Если то ранг матрицы У равен единице и объект не вполне управляем: он управляем только по одной координате. То, что объект при не вполне управляем, видно также из его уравнений: они имеют вид канонической формы управляемости. Матрица [см. (10.90)]. Ее собственное значение, равное корню уравнения является действительным положительным числом. Следовательно, при также объект не является стабилизируемым.

Отметим связь между условиями управляемости и нормальности. Очевидно, объект управляем, если выполняется условие нормальности. Обратное в общем случае неверно. Однако если управление скалярное, то оба условия совпадают: условие нормальности выполняется в том и только в том случае, если объект вполне управляем.