§ 7.9. Второй (прямой) метод Ляпунова

Второй (прямой) метод Ляпунова основывается на построении специальных функций Ляпунова, позволяющих получить достаточные условия устойчивости равновесия в большом. В его основе лежат две теоремы Ляпунова, приводимые ниже без доказательства.

Теорема 1. Если существует знакоопределенная функция производная которой по времени в силу дифференциальных уравнений движения или представляет собой знакопостоянную функцию противоположного с V знака, или тождественно равна нулю, то невозмущенное движение устойчиво.

Теорема 2. Если, кроме того, функции знакоопределена, то невозмущенное движение устойчиво асимптотически.

Отметим, что знакопостоянной называют функцию, принимающую при всех значениях своих аргументов только значения одного знака или нулевое, а знакоопределенной — знакопостоянную функцию, принимающую нулевое значение только при нулевом значении всех ее аргументов (в начале координат).

Уяснить смысл функций Ляпунова и сформулированных в приведенных выше теоремах условий устойчивости легко с помощью понятий фазового пространства.

Если — знакоопределенная функция, то уравнение обычно определяет в фазовом пространстве замкнутую поверхность, охватывающую точку (начало координат). Поверхность находится внутри поверхности если . При приближении С к нулю поверхность стягивается в точку

Если в силу уравнений движения определенно-положительная функция V с течением времени только убывает, т. е. определенно-отрицательна, то это означает, что с течением времени изображающая точка переходит с внешних поверхностей на внутренние, все время приближаясь к началу координат,

Рис. 7.38

которое в этом случае является точкой асимптотически устойчивого равновесия.

Задача о нахождении функции Ляпунова, которая для данной системы дала бы необходимое и достаточное условие устойчивости, весьма сложна и практически пока неразрешима.

В зависимости от конфигурации фазовых траекторий уравнение замкнутой поверхности которая при всех С пронизывалась бы траекториями только снаружи внутрь или наоборот, найти весьма трудно. Поэтому при отыскании функции Ляпунова им обычно заранее приписывают некоторую форму, параметры которой сравнительно несложно вычисляются по исходным уравнениям движения. Если функцию заданной формы при этом найти удалось, можно быть уверенным, что равновесие устойчиво. Если же это не удалось, это еще не означает, что равновесие неустойчиво, может просто оказаться, что функции Ляпунова данной формы не существует, но существует функция другого вида.

Так, если фазовые траектории имеют вид, показанный на рис. 7.38, и будем искать функцию Ляпунова в виде сферы то это вряд ли удастся, так как траекторий всегда будут в некоторых точках входить в сферу, а в некоторых — выходить из нее, хотя равновесие устойчиво.

Для линейных систем функции Ляпунова представляют собой квадратичные формы координат, координаты которых находятся сравнительно несложно. Задаемся квадратичной формой с неопределенными коэффициентами

и находим коэффициенты из условия

где А — любая постоянная. Подставляя в (7.50) выражения из исходных уравнений движения и выражения Из продифференцированного уравнения (7.49), сравниваем

коэффициенты при одинаковых членах в левой и правой частях и получаем алгебраические уравнения для нахождения коэффициентов

Иногда функцию Ляпунова в виде квадратичной формы удается отыскать и для нелинейных систем, близких к линейным, но вообще такое ограничение формы резко сужает возможности исследования. Довольно существенное расширение возможностей дает форма функции Ляпунова, предложенная А. И. Лурье и В. И. Постниковым. Если нелинейность обусловлена введением в линейную систему одного безынерционного нелинейного звена со статической характеристикой , принадлежащей классу , то функцию Ляпунова во многих случаях удается построить в виде «интеграл от нелинейности плюс квадратичная форма»:

где квадратичная форма имеет вид

при этом х — матрица-строка, полученная транспонированием вектора квадратная определенно положительная симметрическая матрица типа элементы которой постоянны и рассматриваются как искомые неопределенные коэффициенты.