Управляемость линейных стационарных объектов.

Пусть матрица А и В в (10.83) постоянны. Введем в рассмотрение так Называемую матрицу управляемости

которая состоит из столбцов матрицы В и произведений матриц и имеет размерность Справедлив следующий критерий управляемости: линейный стационарный объект (10.83) вполне управляем тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости (10.84) равен

Ниже при доказательстве этого критерия используется теорема Гамильтона—Кэли, согласно которой любая -матрица А удовлетворяет своему характеристическому уравнению

На основании этой теоремы имеем

Необходимость. Решение уравнения (10.83) при постоянных матрицах А и В можно представить в виде

где матричная экспоненциальная функция определяется равенством

Для из (10.86) и (10.87) при получаем

где

Умножив обе части равенства (10.85) справа на В, получим

Умножив обе части последнего равенства слева на А и подставив выражение для , получим

Далее, проделав аналогичные операции над получаемыми соотношениями, будем иметь

Следовательно, представляется в виде линейной комбинации векторов, представляющих собой столбцы матрицы управляемости (10.84), и при любом допустимом управлении точка принадлежит подпространству, порожденному столбцами матрицы управляемости У. Поэтому если ранг матрицы У меньше то существуют точки, не принадлежащие указанному подпространству, куда нельзя перевести объект (10.83) из точки

Достаточность. Пусть ранг матрицы У равен Из (10.86) при имеем

Объект (10.83) вполне управляем, если интегральное уравнение

при произвольном из имеет решение в классе допустимых управлений. Будем искать решение в виде [61

где z — вектор из . Подставив это выражение в интегральное уравнение, получим

где

Таким образом, вопрос о существовании решении интегрального уравнения свелся к вопросу о существовании решения алгебраического уравнения. Полученное алгебраическое уравнение имеет решение при произвольном если . Допустим противное: . Тогда соответствующее однородное уравнение имеет ненулевое решение, т. е. существует

вектор такой, что . Умножив слева на и подставив выражение для , получим

В силу непрерывности подынтегрального выражения последнее равенство возможно, если при всех

Используя (10.87), нетрудно показать, что

Дифференцируя тождество (10.88) по получим

или при

Заметим, что Из последних равенств следует, что ненулевой вектор из ортогонален всем вектор-столбцам матрицы управляемости У, а это невозможно, так как по условию ранг матрицы У равен Следовательно, допущение о том, что неверно. Критерий управляемости полностью доказан.

Управляемость объекта (10.83) полностью определяется матрицами А и В. поэтому используют еще следующую терминологию: пара , в которой А и В — матрицы размерности соответственно, называется вполне управляемой, если объект (10.83) вполне управляем.

Рассмотрим неособое (невырожденное) преобразование

В новых переменных уравнение (10.83) принимает вид

где . Как легко проверить, . Поэтому матрица управляемости объекта (10.89)

Так как ранг матрицы равен то ранг матрицы У совпадает с рангом матрицы У. Таким образом, свойство управляемости не зависит от выбора системы координат.

Назовем областью управляемости линейного стационарного объекта область, состоящую из точек, в которые может быть переведен объект из точки за конечное время или, что то же самое, из которых объект может быть переведен в точку за конечное время. Очевидно, если объект вполне управляем, то его область управляемости совпадает со всем фазовым пространством. Если объект не вполне управляем, то, как было показано при доказательстве критерия управляемости, объект не может быть переведен из точки в точку, которая не принадлежит подпространству — подпространству, порожденному вектор-столбцами матрицы управляемости. Можно показать, что область управляемости совпадает с подпространством поэтому подпространство называют подпространством управляемости.

Пусть ранг матрицы управляемости объекта (10.83) равен . Сформируем матрицу Т преобразования в виде , где вектор-столбцы матрицы образуют базис -мерного подпространства управляемости (в частности, ими могут быть независимых столбцов матрицы управляемости), а вектор-столбцы матрицы вместе с вектор-столбцами матрицы образуют базис n-мерного пространства. Тогда уравнение (10.83) в новых переменных приобретает вид так называемой канонической формы управляемости [10]:

или

где -вектор; -вектор; — матрицы соответствующей размерности.

Из структуры системы уравнений (10.90) видно, что вектор неуправляем: закон его изменения во времени никак не зависит от управления. Наоборот, вектор и соответственно пара вполне управляемы: состояния, вида обозначает столбец) принадлежит подпространству управляемости. Используя представление уравнения объекта в канонической форме управляемости, можно сформулировать следующий критерий управляемости: объект вполне управляем в том и только в том случае, если его уравнение нельзя неособым преобразованием привести к виду (10.90), где множество координат вектора не пусто.